山东省济南市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将化为弧度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
2. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为集合，则，所以A错误，B正确；
空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误.
故选：B.
3. “是第一象限角”是“是锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】是锐角，则是第一象限角，
但是第一象限角，不一定是锐角，如，
故“是第一象限角”是“是锐角”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于A，函数的定义域为，
显然为增函数，且因可得函数为奇函数，故A正确；
对于B，，定义域为，
因即不是奇函数，故B错误；
对于C，的定义域为，
且在每一个区间上为增函数，但不能说函数在定义域上递增，故C错误；
对于D，因的定义域为，
函数在上先增后减，在上先减后增，故不是定义域上的增函数，故D错误.
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为单调递增，单调递增，
所以，则.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
7. 若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意；
，命题“”为真命题，
当时，对于抛物线，开口向下，
显然在有解，符合题意；
当时，对于抛物线，开口向上，
只需，解得或，
又，所以或，
综上，实数的取值范围是或，即.
故选：D.
8. 若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
由可得：，
函数在上有且仅有三个零点，
则，
解得：.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】AC
【解析】当时，单调递增，此时，，
所以，解得，
当时，单调递减，此时，，
所以，解得，所以实数的值可以是或.
故选：AC.
10. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，又，所以，B错误；
对于C，由，得，又，所以，C正确；
对于D，由，得，则，
则，D正确.
故选：ACD.
11. 已知定义在上的函数则（ ）
A.
B. 不存在单调区间
C.
D. 在定义域内的任意区间上都不存在最大值
【答案】ABD
【解析】对于A，已知当是互质的正整数时，.
对于，此时，，且和互质，
根据函数定义可得，所以选项 A 正确.
对于B，若存在，是单调增区间，
当是互质的正整数时，，
是无理数，使得，故不是单调增区间；
若是存在，是单调减区间，
当是互质的正整数时，，是无理数，
使得，故不是单调减区间；
即不存在单调区间，所以选项B正确.
对于C，分情况讨论的值：当时，，，所以，
当的无理数时，，则，
当是互质的正整数时，，
若，情况不存在.
若，，
若时，当为正整数时，若为整数可写成，则，
不存在，使得，选项C错误.
对于D，在任意区间，存在最大值，
则存在有理数（是互质的正整数），
在区间内，总能找到形如（是互质的正整数）的有理数，
，所以不存在最大值.
所以在定义域内的任意区间上都不存在最大值，选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为______．
【答案】
【解析】因为点是终边上一点，则.
13. 已知幂函数．给定条件：
①且；
②．
写出一个同时满足①②条件的函数解析式______．
【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇数，是偶数）
【解析】幂函数，对于条件①是偶函数且在上单调递减，
而条件②说明函数为偶函数，
根据幂函数性质，当时，幂函数在上单调递减。
又因为是偶函数，对于幂函数，
若（互质），当为偶数时，函数是偶函数，
若写出具体函数解析式，可以令（满足，是奇数，是偶数），
此时幂函数，对于，满足②.
对求导，，
在时，，在单调递减，所以满足①，
所以答案为：.
14. 函数所有零点之和为______．
【答案】2
【解析】函数的定义域为R，，
函数的图象关于直线，当时，，
令，任取，
，
由，得，则，，
因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，
于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点，
所以函数所有零点之和为2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）求，；
（2）若，且，求实数的取值范围．
解：（1）因为或，所以，
所以.
（2）因，由，可得，则，
所以，解得，
则实数的取值范围为．
16. 已知函数的最小正周期为．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填大了部分数据，如下表：
（1）请在上表补充完整数据，并直接写出实数的值．
（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值域．
解：（1）由题意，则，完善表格如下：
（2）由题意可知，，
因为，所以，所以，
所以，所以的值域为．
17. 已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
（1）求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
（2）当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
解：（1）当时，；
当时，；
综上，
当台时，万元，
所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元．
（2）当时，，
故当台时，取得最大值，最大值为500万元；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
故当台时，取得最大值，最大值为820万元；
因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
18. 已知函数．
（1）解关于的方程：；
（2）记函数．
（ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明；
（ⅱ）若，都有，求实数的取值范围．
解：（1）因，
由，可得，
又，
则有，解得（不合题意，舍去）或，
故原方程的解为．
（2）（ⅰ）在单调递减.
证明如下：，且，
所以，
因，则有，
故有，可得，即，
故在单调递减．
（ⅱ）若，都有，
则有，
由（ⅰ）可得，在单调递减，则，
所以，
即，
故可得．
即使得成立，
所以，即求在的最大值，
由二次函数的性质可得，当时，，
故得，即的取值范围为．
19. 是定义在上的函数．若满足，则称为的“不动点”．已知函数．
（1）求的“不动点”；
（2）记．若，则称为的一个周期，为的一个“周期点”．若是的“周期点”，那么的所有周期中的最小值称为的最小周期．如果的最小周期是，则称是的一个“-周期点”．特殊的，的“1-周期点”即为的“不动点”．
（ⅰ）判断的“周期点”个数，并说明理由；
（ⅱ）若．证明：当时，不存在“周期点”．
解：（1）由题意，解得．
故的不动点为.
（2）（ⅰ）的“2-周期点”共有0个．理由如下：
，故，等号成立当且仅当．
若是的“2-周期点”，满足，
从而等号必须成立，故．
而由（1）知，是的不动点，即“周期点”．矛盾．
故不存“2-周期点”.
（ⅱ）注意到单调递增，
，若为的“-周期点”，
则且，．（否则为的不动点．）
若，则由单调递增可知，，
而，故．
类似地，对于任意，
与矛盾，则不存在的“周期点”．
同理可证不存在的“-周期点”．
故对于不存在“-周期点”．