山东省济宁市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022—2023学年度第一学期质量检测高一数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合的并集运算即可求出答案.

【详解】由题意可知，，

故选：D

2. 已知命题：，，则是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定判断即可.

【详解】：，.

故选：C.

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式得到，得到答案.

【详解】，故，故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据点和三角函数概念，即可求出的值.

【详解】因为点，则，

故选：A.

5. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函数的解析式，判定得出,再由零点的存在定理，即可得到连续函数的零点所在区间．

【详解】解:由题意，函数，

根据对数的运算性质，可得当时，，

,

,

,

∴,根据零点的存在定理，

可得函数的零点所在区间是,.

故选:C

【点睛】本题主要考查了函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，其中熟记对数的运算的性质，合理利用零点的存在定理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

6. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】确定函数在上单调递增，，计算，得到大小关系.

【详解】是定义在上的奇函数，且在上单调递增，故函数在上单调递增，，

，，，

故，故.

故选：A

7. 已知且，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】确定在上是减函数，根据复合函数单调性得到，再考虑定义域得到，得到答案.

【详解】在上是减函数，在上是减函数，故，

考虑定义域：，故，

综上所述：.

故选：B

8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.

【详解】令，由题意知在上为减函数，

又为上的偶函数，所以为上的奇函数，

又在上为减函数，，

所以在上为减函数，

①当时，，即，

所以，所以，解得；

②当时，，即，

所以，所以，解得.所以或.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若实数，，满足，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据得到，，AC正确；取特殊值排除BD得到答案.

【详解】，故，，AC正确；

取，满足，不成立，B错误；

取，，满足，不成立，D错误.

故选：AC

10. 已知，则下列各式中，与数值相同的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用诱导公式化简即可.

【详解】当为奇数时，，故A错；

，故B正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

11. 若，，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】求出，则由对数的计算公式可判断A；求出可判断B；要判断，即判断，因为可判断C；由均值不等式可判断D.

【详解】由题意可得出，，

所以，故A正确；

，

所以，故B不正确；

要判断，即判断，因为，

所以，故C不正确；

，故D正确.

故选：AD

12. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于轴对称

C. 函数在上是减函数 D. 函数的值域为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据奇偶性的定义判断AB选项；利用换元法分析函数的单调性，即可判断C选项；根据单调性求值域即可判断D选项.

【详解】因为的定义域为，

所以，所以为偶函数，所以A错误，B正确；

令，则，令，则，

当时，，所以为增函数，

又为增函数，所以为增函数，

又为增函数，所以在上是增函数.

又为上的偶函数，

所以，所以的值域为.所以C错误，D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若扇形的弧长和面积都是4，则这个扇形的圆心角（正角）的弧度数是______.

【答案】2

【解析】

【分析】根据扇形面积公式和弧长公式列方程求解即可.

【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，，所以，.

故答案为：2.

14. 已知函数（且）的图象经过定点，若幂函数的图象也经过点，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，求出定点坐标，进而求出幂函数的解析式，即可求出答案.

【详解】因为函数（且）的图象经过定点，

可知定点，

设，代入，可得，

所以，

所以.

故答案为：.

15. 若，，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据得到，确定，计算，得到答案.

【详解】，故，故，

，故，，，

，故.

故答案为：

16. 已知且，若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知，函数是上的单调递增函数，利用单调性列出不等式组，即可求出实数的取值范围.

【详解】由题意可知，当时，函数单调递增，

所以函数是上单调递增函数，

可得，解得，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚.

17. 若，求的值.

【答案】3

【解析】

【分析】利用诱导公式进行化简，然后利用同角三角函数关系进行求值即可

【详解】因为，

，，

，，

所以.

18. 已知集合，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，代入可求实数的取值范围；

（2）由可知，讨论集合是否为空集，可求出实数的取值范围.

【小问1详解】

因为，所以，

解得，所以实数的取值范围是.

【小问2详解】

由条件可知.

因为，所以.

当即时，，符合；

当即时，，

则有解得.

综上可知，即实数的取值范围是.

19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求在上的解析式；

（2）当时，求的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质求解析式；

（2）先根据定义判断函数单调性，再根据单调性求值域.

【小问1详解】

∵函数为奇函数，则有：

当时，则，故；

当时，则；

所以在上的解析式为.

【小问2详解】

当时，则，

对，且，则，故，

∴，即，

故在上为增函数，

且，则，

所以当时，的值域为.

20. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，）

（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）

【答案】（1）答案见解析；   

（2）至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式；

（2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果.

【小问1详解】

因为（，）的增长速度越来越快，

（）和（）的增长速度越来越慢，

所以应选函数模型（，）.

由题意得，解得，

所以该函数模型为（）；

【小问2详解】

由题意得，即，

所以，

又.

所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.

21. 已知函数在上为减函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）考虑和两种情况，根据二次函数的单调性得到，解得答案.

（2）考虑和两种情况，根据，考虑和的大小关系，解不等式得到答案.

【小问1详解】

当时，在上为减函数，符合题意；

当时，为二次函数，则，解得.

综上所述：.

【小问2详解】

当时，，所以；

当时，的零点为，，

当即时，；

当即时，；

当即时，.

综上所述：

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

22. 已知函数是定义在上奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；

（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）在上为减函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意是定义在上的奇函数，所以，即可求出实数的值；

（2）由（1）知，，根据函数单调性的定义化简，即可证明其单调性；

（3）根据函数的奇偶性和单调性可得到不等式，利用基本不等式可求实数的取值范围.

【小问1详解】

因为是定义在上的奇函数，

所以，解得.

此时，，

所以，

所以是上的奇函数，故.

【小问2详解】

由（1）知，，

任取，，且，

则，

因为，所以，即，

又，，

所以，即，

所以在上为减函数.

【小问3详解】

由题意知恒成立，

因为是奇函数，所以，

因为在上为减函数，所以

设（），则，即

因为，当且仅当，即亦即时取等号.

所以的最小值为9.

所以，即实数的取值范围为.