山东省济宁市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省济宁市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．若数据的平均数为2，则数据的平均数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．用斜二测画法画出平面四边形的直观图为菱形，如图所示，其中，，则四边形的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．已知平面，和直线，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走，到达处，在处测得山顶的仰角为，已知，，，则山高（ ）

A．B．C．D．
8．已知正三角形的边长为2，，，与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，都是非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
10．某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长.现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中
B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的中位数近似值为80
C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为78
D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23
11．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．正方体内切球的体积为
B．与所成角为
C．平面截正方体的截面面积为
D．底面半径为，高为的圆柱，能整体放入该正方体中
三、填空题
12．已知向量，，若，则 .
13．某校数学兴趣社团有男生50人，女生30人，现用比例分配的分层抽样方法从中抽取容量为24的样本，则应抽取男生的人数为 .
14．已知的内角，，的对边分别为，，，且，若的外接圆的半径为1，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知复数.
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
16．某科技公司测试两款新型无人驾驶配送车型（A型号与B型号）在复杂城市环境中的配送效率.记录了在10次典型任务中，两种型号车的配送时间（单位：分钟）分别为：
已知该公司要求配送时间不超过15分钟，且配送时间越稳定，配送效率越高.
(1)分别计算、两种型号车的配送时间的平均数和方差；
(2)根据计算结果分析，哪种型号更符合公司的要求.
17．已知，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
18．设的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求角的大小；
(2)若点在直线上，当为锐角三角形时，求的取值范围.
19．如图，在三棱锥中，，，，.
(1)若为的重心，点在棱上，且，求证：平面；
(2)若三棱锥外接球的表面积为.
（i）求二面角的余弦值；
（ii）若点是棱上的动点（异于端点），求直线与平面所成角的取值范围.
1．B
根据题意可得，进而可得模长.
【详解】因为，则，
所以.
故选：B.
2．C
根据平均数性质直接计算得解.
【详解】若数据的平均数为2，
则数据的平均数为.
故选：C
3．D
根据斜二测画法可作出原图形，得到原图形是长为2宽为4的矩形，接着求面积即可.
【详解】根据斜二测画法原图如下：
，所以四边形的面积为8.
故选：D.
4．A
根据函数平移前后解析式的变化规律可解.
【详解】将向左平移个单位长度得到，
故选：A.
5．C
根据线面、面面关系的判定定理和性质定理逐一分析即可得解.
【详解】对于A，若，，则或异面或相交，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：C
6．B
由投影向量定义直接计算即可.
【详解】由题可得在上的投影向量为.
故选：B
7．A
过作的垂线，设，解得，利用，然后解方程即可.
【详解】过作的垂线，设，
，
，，
，
，
解得.
故选：A.
8．C
由题意依次求得、和即可由计算得解.
【详解】由题可得，，，
所以，
，
，
所以.
故选：C
9．BC
根据向量的数量积易知A错误；利用数量积的定义式可判断B；由可得，根据模长公式即可判断C；根据数量积的定义式，只要即可判断D.
【详解】对于A，，一个与共线，另一个与共线，易知不一定相等，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，即，故C正确；
对于D，，又，
可得，所以不一定相等，故D错误；
故选：BC.
10．ABD
选项A：利用面积之和为1可求出a的值；
选项B：中位数是将数据分为两半的点，找到累积频率达到0.5的位置；
选项C：以各组中点值乘以频率求和即可；
选项D：用，验证
【详解】，解得：，A正确；
中位数是累积频率达到0.5的点.从累积频率看：中位数位于和分界线，所以中位数为80，B正确
，C错误
，
，D正确
故选：ABD.
11．ACD
对于A：可知内切球半径，即可得球的体积；对于B：做辅助线，分析可知与所成角为（或其补角），进而可得结果；对于C：做辅助线，截面为，进而可得面积；对于D：以为圆柱的轴，结合圆柱、正方体的结构特征分析判断即可.
【详解】对于选项A：因为正方体的棱长为2，
可知正方体的内切球半径，所以内切球的体积为，故A正确；
对于选项B：取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，
且，则，可知与所成角为（或其补角），
又因为，，则，
所以与所成角为，故B错误；
对于选项C：取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，，
且，，可得，，
可知为平行四边形，可得，
同理可得，则，
可知平面截正方体的截面为，
且，
所以截面面积为，故C正确；
对于选项D：以为圆柱的轴，
设，，，，且，
因为，则，
根据对称性可得，则，
所以圆柱能整体放入该正方体中，故D正确；
故选：ACD.
12．/
根据向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
13．15
根据抽样比计算求解即可.
【详解】由题可得分层抽样的抽样比为，
所以抽取容量为24的样本，则应抽取男生的人数为.
故答案为：15
14．
由题可得，即再平方处理即可得到的最大值，利用正弦定理得解.
【详解】根据题意，
又，所以，
而，
即，
当时，，
解得，
又的外接圆的半径为1，所以，
所以的最大值为
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）根据复数的分类，列出方程组可解；
（2），则，根据复数是方程的根，必也是方程的根，然后利用韦达定理可解.
【详解】（1）因为复数为纯虚数，
所以，
复数为纯虚数，实数的值为.
（2），则，
又复数是关于的方程的一个根，
所以也是方程的根，
则，
所以.
16．(1)型号车的配送时间的平均数为，方差为，型号车的配送时间的平均数为，方差为，
(2)型号更符合公司的要求
（1）根据平均数计算公式，，分别代入数据即可求解；
（2）首先比较平均配送时间是否小于15，然后比较方差，方差小的更稳定，也就配送效率更高，综合以上分析即可求解.
【详解】（1）型号车的配送时间的平均数
，
型号车的配送时间的方差
，
型号车的配送时间的平均数
，
型号车的配送时间的方差
，
所以型号车的配送时间的平均数为，方差为，
型号车的配送时间的平均数为，方差为，
（2）由（1），则都满足该公司要求配送时间不超过15分钟，
又，所以型号配送时间更稳定，效率更高，
所以型号更符合公司的要求.
17．(1)
(2)
（1）根据题意先求，结合向量共线的坐标表示运算求解；
（2）根据数量积的坐标表示可得，即可得结果.
【详解】（1）因为，，则，
若，则，解得.
（2）因为，，
则，整理可得，
且，则，可得，
即，所以.
18．(1)
(2)
（1）根据题意利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）设，由锐角三角形可得，利用正弦定理可得，结合函数单调性求取值范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
且，
则，
可得，
因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）设，则，
因为为锐角三角形，则，解得，
由正弦定理可得，
则，
，
可得，
构建，
可知在内单调递减，且，
当趋近于时，趋近于，
可得，所以的取值范围为.
19．(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）.
（1）取中点，连接，求证且即可由线面平行判定定理得证；
（2）（i）先求出外接球的半径，进而得到球心即为中点，接着过作交于点，连接求得为二面角的平面角，计算即可得解；
（ii）过作平面交平面于点，连接得到即为直线与平面所成角，设，依次求出和，计算即可求解.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
因为为的重心，所以在且，
因为点在棱上，且，
所以，又在平面外，平面，
所以平面；
（2）（i）因为三棱锥外接球的表面积为，所以三棱锥外接球的半径为，
在中，所以球心即为中点，
所以.
因为，所以与全等，，
过作交于点，连接，则，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以二面角的余弦值；
（ii）由题可得，又由（i）可得，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
过作平面交平面于点，则，连接，
则即为直线与平面所成角，
设，
在中，
所以，
所以，则，
在中，
所以，
因为，
所以，
所以，即直线与平面所成角的取值范围为.A型号
10
11
12
13
14
11
10
11
15
13
B型号
11
13
10
11
12
10
14
12
12
15
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
C
B
A
C
BC
ABD
题号
11









答案
ACD