安徽省芜湖市南陵县2025-2026学年度第一学期义务教育阶段学校期末考试九年级数学试题卷

这是一份安徽省芜湖市南陵县2025-2026学年度第一学期义务教育阶段学校期末考试九年级数学试题卷，共38页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3．请务必在“答题卷”上答卷，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．）
1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
2. 决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 国际数学家大会（Internatinal Cngress f Mathernaticians，ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. （a+b）2=a2+b2B. a•a2=a3C. a8÷a2=a4D. 3a2+2a2=5a4
5. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 已知如图，点是圆上的两个点，，点A是圆上的一个动点，点分别是的中点，则的长（ ）
A. 的长随点A的运动而不规则地改变B.
C. 在点A从左往上再往右的运动过程中，先变大，再变小D. 无法确定
7. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 若实数，则
B. 任取两个无理数，其差是无理数
C. 已知，则
D. 若、互为倒数，则
8. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）

A. 4B. ﹣4C. ﹣3D. 3
10. 如图，中，，．，，分别是，，的中点，在上运动（不与，重合），连接．点与点关于对称，连接并延长交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．）
11. 如果，那么的值为_____．
12. 将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是________．
13. 如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是______．
14. 如图，矩形的顶点O 为坐标原点，边分别在y轴、x轴上，，，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E．
（1）_______；
（2）过点 B作，交该反比例函数的图象于点 F，交 x轴于点D，则 的值为__________
三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．）
15. 解不等式：．
16. 如图，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，则点的坐标为______；
（2）请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______；
（3）在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留）
四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．）
17. 将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为．
（1）海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望；
（2）某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由．
18. 实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如题图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求反比例函数的表达式和直线的表达式；
（2）数学老师想在课上讲解一道综合题，希望学生注意力指标不低于40，那么这位老师最多可以讲多少分钟？
五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分．）
19. 如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙．
（1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙边AB长为多少？
（2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大．
20. 如图，过的顶点A，C，D，交边于点，延长交于点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，连接并延长交于点，求证：．
六、（本大题共12分）
21. 综合实践．
七、（本大题共12分．）
22. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，点为的中点，过点作于点，连接，．

观察猜想：
（）与的数量关系是________；
和的数量关系是________．
探究发现：
（）将图中绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，将线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图所示，探究和的数量关系，并说明理由；
八、（本大题共14分．）
23. 在二次函数中．
（1）若函数图象的顶点在轴上，求的值．
（2）若点在抛物线上，令，求证：．
（3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求取值范围．
金额
3元
4元
5元
6元
概率
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源
提供长度不同的两种木棒各4根（如图）
入项任务
运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究．
问题探究过程
发现问题
请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是 ；（请用简洁的语言描述）
提出问题
请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，．
例如：小明结论是．
小张的结论是，
你的结论是： ；
分析问题
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：∵，，
∴，
你的证明： ；
拓展创新
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图： ；
你的关系式： ．
迁移应用
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答： ．
南陵县2025—2026学年度第一学期义务教育阶段学校期末考试
九年级数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3．请务必在“答题卷”上答卷，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．）
1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查正负数，熟练掌握正负数比较大小是解题的关键．根据负数绝对值大的反而小，即可得到答案．
【详解】解：，
故选A．
2. 决胜“十四五”，奋进新征程．安徽省政府工作报告明确了2025年安徽经济社会发展的主要预期目标，其中全员劳动生产率达168000元/人左右，城镇常住居民人均可支配收入增速高于全国平均水平．数据168000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．
根据科学记数法的方法进行解题即可．
【详解】解：数据168000用科学记数法表示为．
故选：C
3. 国际数学家大会（Internatinal Cngress f Mathernaticians，ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可.
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
4. 下列各式计算正确的是（ ）
A. （a+b）2=a2+b2B. a•a2=a3C. a8÷a2=a4D. 3a2+2a2=5a4
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：A、（a+b）2=a2+b2+2ab，错误；
B、a•a2=a3，正确；
C、a8÷a2=a6，错误；
D、3a2+2a2=5a2，错误．
故选B．
5. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解关于k的一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
整理得，
解得，，
即k的值为1或9．
故选：C．
6. 已知如图，点是圆上的两个点，，点A是圆上的一个动点，点分别是的中点，则的长（ ）
A. 的长随点A的运动而不规则地改变B.
C. 在点A从左往上再往右的运动过程中，先变大，再变小D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中位线的性质，即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴DE是的中位线，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的中位线，掌握三角形的中位线的性质，是解题的关键．
7. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 若是实数，则
B. 任取两个无理数，其差是无理数
C. 已知，则
D. 若、互为倒数，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，实数的性质，根据实数的性质，无理数的含义逐一判断各选项属于必然事件、不可能事件还是随机事件即可．
【详解】解：选项A：实数的绝对值必定非负，故恒成立，属于必然事件．
选项B：任取两个无理数，其差可能是无理数（如与的差为），也可能是有理数（如与的差为）．结果具有不确定性，属于随机事件．
选项C：根据平方根的定义，存在的前提是，故必然成立，属于必然事件．
选项D：若、互为倒数，则，而显然矛盾，属于不可能事件．
综上，只有选项B是随机事件．
故选：B
8. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据的函数图象可知，，进一步推出二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1，由此即可得到答案．
【详解】解：由二次函数的图象可知，，
∴二次函数的开口向下，与轴交于正半轴，
∵二次函数的图象与x轴交于，
∴方程的两个根为，
∴二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1，
综上所述，只有B选项中的函数图象符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键．
9. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）

A. 4B. ﹣4C. ﹣3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
10. 如图，中，，．，，分别是，，的中点，在上运动（不与，重合），连接．点与点关于对称，连接并延长交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，先求出，根据折叠的性质得出，，，则，根据等边对等角得出，设，则，设，则，结合可求出，根据三角形外角的性质可求出，则，连接，根据勾股定理求出，则点Q在以为直径的圆上运动，取中点O，连接，，故当A、Q、O三点共线，且Q在上时，最小，最小值为，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，取中点H，连接，根据三角形中位线定理得出，，，则，，根据勾股定理求出，即可求解．
详解】解：连接，
∵．，，分别是，的中点，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
设，则，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
连接，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，
取中点O，连接，，
∴当A、Q、O三点共线，且Q在上时，最小，最小值为，
∵O为中点，，
∴，
取中点H，连接，
∴，，，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，对称的性质，圆的有关概念等知识，明确题意，添加合适辅助线，证明是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．）
11. 如果，那么的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，根据非负数的性质得到且，从而求出和的值，再代入计算．
【详解】解：∵，，且，
∴且，
解得，，
则，
∴，
故答案为：．
12. 将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，一次函数、二次函数和反比例函数的性质．利用一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：，，则y随x的增大而增大，
，，则y随x的增大而减小，
，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
，，图象在一三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有一种，
∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是．
故答案为：．
13. 如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．连接，，过点O作，证明为等边三角形，根据勾股定理得出，根据垂线段最短，正方形的边长不能超过为，从而得出的取值范围是．
【详解】解：连接，，过点O作，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，
∵点O为正六边形的中心，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴正方形对角线不能超过，
∴正方形的边长不能超过，
∴的取值范围是，
故答案为：．
14. 如图，矩形的顶点O 为坐标原点，边分别在y轴、x轴上，，，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E．
（1）_______；
（2）过点 B作，交该反比例函数的图象于点 F，交 x轴于点D，则 的值为__________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要老相反比例函数与几何综合，矩形的性质，求直线解析式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）根据矩形的性质求出点的坐标，由中点坐标公式求出点的坐标，进而可求出的值；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式，根据和点坐标可求出直线 的函数解析式，再联立方程组，解方程组得出点的坐标，求出，可得结论．
【详解】(1)∵四边形是矩形，
∴，E 为 的中点.
∵，
∴，
∴，
由中点坐标公式得，
；
（2）设直线的解析式为，
把，代入直线解析式得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴设直线 的函数解析式为
∵该直线过点，.
解得，
∴直线的函数解析式为
由（1）可知，反比例函数的解析式为 ；
∵ F为这两个图象的交点，
∴解方程组得：， ，
∴ 点 F 坐 标 为 或 ，
∴当点 F 的坐标为 时，

；
当点 F 的坐标为 时，

综上所述， 的值为
三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．）
15. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元一次不等式的求解．按一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可求解，注意系数化为1时变号．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
16. 如图，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，则点的坐标为______；
（2）请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______；
（3）在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留）
【答案】（1）画图见解析，；
（2）画图见解析，；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了作图——旋转变换、平移变换，求弧长，解题的关键是掌握旋转和平移的性质以及弧长公式．
（）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，再写出的坐标即可；
（）将绕原点逆时针旋转的图形，画出，再写出点的坐标；
（）先求出，再由旋转性质可得，最后根据弧长公式即可求出答案．
【小问1详解】
解：如图，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，
∴即所求，点，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，将绕原点逆时针旋转的图形，
∴即为所求，点，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如上图，由网格可知，由旋转性质可知：，
∴点运动的路径长为，
故答案为：．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分．）
17. 将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为．
（1）海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望；
（2）某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由．
【答案】（1）元
（2）当时，数学期望最小，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了的最值，利用概率计算随机事件发生的数学期望，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）根据表中数据，利用定义法求解；
（2）先根据题意，列出点数的数学期望的算式，再配方后求出最值即可．
【小问1详解】
解：返现金额的数学期望为
（元）；
【小问2详解】
解：点数的数学期望为
，
当时，数学期望最小，最小值为．
18. 实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如题图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求反比例函数的表达式和直线的表达式；
（2）数学老师想在课上讲解一道综合题，希望学生注意力指标不低于40，那么这位老师最多可以讲多少分钟？
【答案】（1），；
（2）张老师最多可以讲14.5分钟．
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．
（1）设反比例函数的表达式为，将代入即可求解．求出点A的坐标，设的表达式为，将，代入求解即可；
（2）分别在函数与函数中，令，求出自变量x的值，它们的差即为所求．
【小问1详解】
解：设反比例函数的表达式为．
将代入得，
∴反比例函数的表达式为．
当时，，
∴，
∴．
设的表达式为．
将，代入，
得，解得，
∴直线的表达式．
【小问2详解】
解：在函数中，当时，．
解得．
在函数中，当时，则，
解得：．
∴．
答：张老师最多可以讲分钟．
五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分．）
19. 如图，学校有一面长8米的墙，生物兴趣小组打算用总长16米的篱笆在墙前面的空地上围成两个矩形分别饲养小兔和小鸡，矩形一边靠墙．
（1）要使小兔和小鸡活动区域总面积为21平方米，垂直于墙的边AB长为多少？
（2）若小鸡活动区域为正方形，设计方案使得小兔活动区域面积最大．
【答案】（1）3米 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程和二次函数在几何图形面积问题中的应用．解题关键在于根据几何图形的边长关系设未知数，利用面积公式建立方程或函数表达式，同时要注意结合实际条件（如墙长对边长的限制）来确定未知数的取值范围，进而求解问题．
（1）本题通过设未知数来建立方程求解．设，由于篱笆总长为，且边有段（两个矩形），所以平行于墙的边长为．根据矩形面积公式长宽，总面积为平方米，得到方程．求解方程得到两个根， ．又因为墙长米，即，解这个不等式得到，所以舍去，确定．
（2）同样先设，因为小鸡活动区域为正方形，所以 ，根据矩形面积公式得到小兔活动区域面积矩形 ，这是一个二次函数．对于二次函数（），当时，图象开口向下，在对称轴处取得最大值．这里，对称轴为 ，且由墙长限制，即，在这个范围内，随的增大而减小，所以当时，取得最大值 ，进而得出米，米时，小兔活动区域面积最大．
【小问1详解】
解：设，根据题意得，
解得，，
∵，，
∴
答：垂直于墙的边长为3米．
【小问2详解】
解：设，则，根据题意得，
，
当时，随的增大而减小
∵，，
∴当时，最大
答：当米，米时，小兔活动区域面积最大．
20. 如图，过的顶点A，C，D，交边于点，延长交于点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，连接并延长交于点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，垂径定理的应用，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质得出，再由圆周角定理及各角之间的等量代换即可证明；
（2）根据平行四边形的性质得出，确定，，再由圆周角定理及弧、弦、角的关系即可证明．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，
∴，
，
∵，
，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
四边形为平行四边形，
∴，
，，，
∵四边形AECD为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
，
，
，
过点O，
．
六、（本大题共12分）
21. 综合实践．
【答案】[发现问题]丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；[提出问题]；[分析问题]证明见解析；[拓展创新]图见解析，；[迁移应用]
【解析】
【分析】本题主要考查以几何图形为背景的完全平方公式应用，
[发现问题]根据正方形和长方形面积即可得到；
[提出问题]结合上一问即可得到；
[分析问题]利用面积公式和完全平方公式即可证明；
[拓展创新]利用面积和完全平方公式求解即可；
[迁移应用]x和y的大小关系结合拓展创新得结论即可求得答案．
【详解】解：[发现问题]如图，连接各点．
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和．
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和．
[提出问题]
由发现问题得．
故答案为：．
[分析问题]
∵，．
∴．
又∵，
∴．
故答案为：；
[拓展创新]
示意图如图．
图中每个矩形的面积为，
小正方形的面积为．
大正方形的面积为．
∵，
∴．
故答案为：
，．
[迁移应用]
若，令，．
根据，得，即，
解得．
若，令，．
同理，得，解得．
∴．
故答案为：．
七、（本大题共12分．）
22. 如图，在正方形中，点为边上一点，连接，点为的中点，过点作于点，连接，．

观察猜想：
（）与的数量关系是________；
和的数量关系是________．
探究发现：
（）将图中绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，将线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图所示，探究和的数量关系，并说明理由；
【答案】，；，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据直角三角形斜边上的中线、等腰三角形以及三角形外角的性质即可求解；
（）首先证明得到 ，再证明即可证明．
【详解】（）∵四边形是正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵线段绕点旋转得到线段，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中,，
，
∴，
∴，，
∴，
由图中的绕点逆时针旋转，使点恰好落在上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
八、（本大题共14分．）
23. 在二次函数中．
（1）若函数图象的顶点在轴上，求的值．
（2）若点在抛物线上，令，求证：．
（3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可；
（2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论；
（3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
【小问2详解】
证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
；
【小问3详解】
解：，都在这个二次函数的图象上，
二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
∴关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．金额
3元
4元
5元
6元
概率
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源
提供长度不同的两种木棒各4根（如图）
入项任务
运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究．
问题探究过程
发现问题
请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是 ；（请用简洁的语言描述）
提出问题
请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是： ；
分析问题
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：∵，，
∴，
你的证明： ；
拓展创新
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图： ；
你的关系式： ．
迁移应用
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答： ．