2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 4.3 等腰三角形与直角三角形

这是一份2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 4.3 等腰三角形与直角三角形，共13页。试卷主要包含了等腰三角形的相关计算，直角三角形的相关计算等内容，欢迎下载使用。
1．（2025安徽中考第6题）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=3，则AC的长是（ ）
A．43B．6C．23D．3
2．（2022安徽中考第10题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3=2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．332B．532C．33D．732
3．（2023安徽中考第10题）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）

A．PA+PB的最小值为33B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33
4．（2016安徽中考第23题））如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
二、直角三角形的相关计算
5．（2024安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（ ）

A．10−2B．6−2C．22−2D．22−6
6.（2021安徽中考第5题）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°
7．（2019安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
8．（2018安徽中考第23题）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F
（1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM
参考答案与解析
一、等腰三角形判定及计算
1．（2025安徽中考第6题）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC．若DE=3，则AC的长是（ ）
A．43B．6C．23D．3
【答案】B
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
∴∠C=180°−120°2=30°．
∵D是AC中点，
∴设AC=2x，则CD=x．
∵ED⊥AC，
∴△EDC是直角三角形，且∠C=30°，
∴EC=2DE，
∵DE=3，则EC=23．在Rt△EDC中，根据勾股定理EC2=DE2+CD2，
∴(23)2=(3)2+x2，
12=3+x2，
x2=9，
解得x=3（x>0）．
∵AC=2x，
∴AC=6．
故选：B．
2．（2022安徽中考第10题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3=2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．332B．532C．33D．732
【答案】B
【详解】解：如图，
S2=S△PDB+S△BDC，S3=S△PDA+S△ADC，
∴S1+S2+S3=S1+(S△PDB+S△BDC)+(S△PDA+S△ADC)=S1+(S△PDB+S△PDA)+(S△BDC+S△ADC)
=S1+S△PAB+S△ABC=S1+S1+S0 =2S1+S0=2S0，∴S1=12S0，
设△ABC中AB边上的高为h1，△PAB中AB边上的高为h2，则S0=12AB·h1=12×6·h1=3h1，
S1=12AB·h2=12×6·h2=3h2，∴3h2=12×3h1，∴h1=2h2，∵△ABC是等边三角形，
∴h1=62−(62)2=33，h2=12h1=323 ，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于323的线段上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，∴CP=h1+h2=923，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC,∴∠OCE=30°，CE=12BC=3,∴OC=2OE
∵OE2+CE2=OC2，∴OE2+32=(2OE)2，解得OE=3，∴OC=23，
∴OP=CP-OC=923−23=523．故选B．
3．（2023安徽中考第10题）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ）

A．PA+PB的最小值为33B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33
【答案】A
【详解】解：如图所示，

延长AD,BC，依题意∠QAD=∠QBA=60°,∴△ABQ是等边三角形，∵P是CD的中点，∴PD=PC，∵∠DEA=∠CBA，∴ED∥CQ,∴∠PQC=∠PED,∠PCQ=∠PDE，∴△PDE≌△PCQ,∴PQ=PE，∴四边形DECQ是平行四边形，则P为EQ的中点,如图所示，

设AQ,BQ的中点分别为G,H，则GP=12AE,PH=12EB,∴当E点在AB上运动时，P在GH上运动，
当E点与F重合时，即AE=EB，则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AE=EB=12AE+EB=2，
则△ADE≌△ECB，∴C,D到AB的距离相等，
则CD∥AB，此时PF=32AD=3
此时△ADE和△BCE的边长都为2，则AP,PB最小，
∴PF=32×2=3，∴PA=PB=22+32=7,∴PA+PB= 27，
或者如图所示，作点B关于GH对称点B'，则PB=PB'，则当A,P,B'三点共线时，AP+PB=AB'

此时AB'=AB2+BB'=42+232=27,故A选项错误，
根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PE=PF =3，则PE+PF=23，故B选项正确；
△CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4，
即当CD最小时，△CDE周长最小，
如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM，

∵∠GHQ=60°,∠GHM=∠GDM=60°，则∠CHM=120°
如图，延长DE,HG，交于点N，则∠NGD=∠QGH=60°，∠NDG=∠ADE=60°
∴△NGD是等边三角形，∴ND=GD=HM，
在△NPD与△HPC中，∠NPD=∠HPC∠N=∠CHP=60°PD=PC
∴△NPD≌△HPC,∴ND=CH,∴CH=MH
∴∠HCM=∠HMC=30°,∴CM∥QF，则CM⊥DM，∴△DMC是直角三角形，

在△DCM中，DC>DM,∴当DC=DM时，DC最短，DC=GH=12AB=2
∵CD=PC+2PC,∴△CDE周长的最小值为2+2+2=6，故C选项正确；
∵△NPD≌△HPC,∴四边形ABCD面积等于S△ADE+S△EBC+S△DEC=S△ADE+S平行四边NEBH

∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合
∴四边形ABCD面积的最小值为3×34×22= 33，故D选项正确，故选：A．
4．（2016安徽中考第23题））如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R．
①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．
【详解】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，
∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE＝∠ODE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，∴∠PCO＝∠QDO＝90°，
∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，
∵PC＝12AO＝OC＝ED，CE＝OD＝12OB＝DQ，
在△PCE与△EDQ中，PC=DE∠PCE=∠EDQCE=DQ，∴△PCE≌△EDQ；
（2）①如图2，连接RO，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，∴AR＝OR＝RB，
∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRQ，
∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，
∴∠CRD＝30°，∴∠ARB＝60°，∴△ARB是等边三角形；
②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，
∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，
∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝12∠ARB＝45°，∴∠MON＝135°，
此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且∠APB＝90°，
∴AB＝2PE＝2×22PQ＝2PQ，∴ABPQ＝2．
二、直角三角形的相关计算
5．（2024安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（ ）

A．10−2B．6−2C．22−2D．22−6
【答案】B
【详解】解：过点D作DE⊥CB的延长线于点E，则∠BED=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=22+22=22，∠A=∠ABC=45°，
∴CD=22，∠DBE=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴DE=BE，
设DE=BE=x，则CE=2+x，
在Rt△CDE中，CE2+DE2=CD2，
∴2+x2+x2=222，
解得x1=3−1，x2=−3−1（舍去），
∴DE=BE=3−1，
∴BD=3−12+3−12=6−2，
故选：B．

6.（2021安徽中考第5题）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°
【答案】C
【详解】由图可得∠B=60°，∠F=45°，
∵BC//EF，∴∠FDB=∠F=45°，
∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°，故选：C．
7．（2019安徽中考第7题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
【答案】B
【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴△AFE∽△ACD，∴EFDC=AEAD，
∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG，
∴△AEG∽△ADH，∴EGDH=AEAD，∴EFDC=EGDH
∵EF=EG，∴DC=DH，
设DH=DC=x，则BD=12-x，
又∵△BDH∽△BCA，∴DHCA=BDBC，即x6=12−x12，解得：x=4，即CD=4，
故选B.
8．（2018安徽中考第23题）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F
（1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM
【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析.
【详解】（1）∵M为BD中点，Rt△DCB中，MC=12BD，Rt△DEB中，EM=12BD，
∴MC=ME；
（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°，
∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，
同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，
∴∠EMF=180°-80°=100°；
（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，
∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，
∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，
又∵CM=ME=12BD=DM，∴DE=EM=DM，
∴△DEM是等边三角形，∴∠EDM=60°，∴∠MBE=30°，
∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，
∵∠MCB+∠ACE=45°，∠CBM+∠MBE=45°，
∴∠ACE=∠MBE=30°，∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，
连接AM，∵AE=EM=MB，∴∠MEB=∠EBM=30°，∠AME=12∠MEB=15°，
∵∠CME=90°，∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，∴AC=AM，
∵N为CM中点，∴AN⊥CM，
∵CM⊥EM，∴AN∥CM.