2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题7.5空间向量的概念与运算【六大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题7.5空间向量的概念与运算【六大题型】特训(学生版+解析)，共48页。

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\l "_Tc1069" 【题型1 空间向量的线性运算】 PAGEREF _Tc1069 \h 4
\l "_Tc19461" 【题型2 空间共线向量定理的应用】 PAGEREF _Tc19461 \h 5
\l "_Tc6756" 【题型3 空间向量数量积及其应用】 PAGEREF _Tc6756 \h 6
\l "_Tc17277" 【题型4 空间向量基本定理及其应用】 PAGEREF _Tc17277 \h 6
\l "_Tc14786" 【题型5 证明三点共线、四点共面】 PAGEREF _Tc14786 \h 7
\l "_Tc14263" 【题型6 空间向量的坐标运算】 PAGEREF _Tc14263 \h 9
1、空间向量的概念与运算
【知识点1 空间向量的有关概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)几类特殊的空间向量
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
2．共线向量定理
(1)共线向量定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【知识点3 空间向量的数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【知识点4 空间向量基本定理及其应用】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
5．求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【知识点5 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【方法技巧与总结】
1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点.
【题型1 空间向量的线性运算】
【例1】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，化简AB−AD+CC1=（ ）
A．BD1B．DB1C．AC1D．CA1
【变式1-1】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“AD=AB+AC”是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体ABCD中，G是BD的中点，则CA+12AB+AD=（ ）
A．AGB．CGC．BGD．CB
【变式1-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CM=MD1，CQ=4QA1，则（ ）
A．AM=13AB+23AD+AA1B．AM=12AB+13AD+12AA1
C．AQ=14AB+14AD+34AA1D．AQ=15AB+15AD+45AA1
【题型2 空间共线向量定理的应用】
【例2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空间两个不共线的向量，MC=5MA−3MB，那么必有（ ）
A．MA,MC共线B．MB,MC共线
C．MA,MB,MC共面D．MA,MB,MC不共面
【变式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB与向量BC共线，则m的值为（ ）
A．0B．12C．1D．32
【变式2-3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则AFAG=（ ）
A．12B．23C．34D．45
【题型3 空间向量数量积及其应用】
【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）在四面体ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，则AC⋅BD的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【变式3-1】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥P−ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则QE⋅QF的取值范围为（ ）
A．[0,2]B．[4−23,2]C．[0,4−3]D．[0,4−23]
【变式3-2】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅PB的最小值为（ ）
A．−94B．−32C．−2D．−1
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥SO的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则OP⋅OQ的取值范围为（ ）
A．−4,4B．−4,4C．−2,2D．−2,2
【题型4 空间向量基本定理及其应用】
【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若a=AF，b=CE，c=BD，则OP=（ ）
A．13a+13b+13cB．−13a−13b−13cC．−23a−13b−23cD．23a+23b+23c
【变式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体O−ABC中， a=OA,b=OB,c=OC,OM=13MA,N为BC的中点，若MN=xa+yb+zc ，则 x+y+z=（ ）
A．3B．34C．12D．13
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1交点，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则BM的长为（ ）

A．54B．34C．52D．32
【变式4-3】（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体ABCD中（如图），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等边三角形，AD=CD，AD⊥CD，M为AB的中点，N在侧面BCD上（包含边界），若MN=xAB+yAC+zAD，x,y,z∈R则下列正确的是（ ）

A．若x=12，则MN∥平面ACDB．若z=0，则MN⊥CD
C．当MN最小时，x=14D．当MN最大时，x=0
【题型5 证明三点共线、四点共面】
【例5】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，D1E=kD1A,D1F=kD1B，D1G=kD1C,D1H=kD1D．

(1)当k=34时，试用AB,AD,AA1表示AF；
(2)证明：E,F,G,H四点共面；
【变式5-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间9个点(如图)，并且OE=kOA,OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB．EG=EH+mEF，求证：
(1)A,B,C,D四点共面；
(2)AC//EG；
(3)OG=kOC．
【变式5-2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱ABCD−A′B′C′D′的六个面都是平行四边形，点M在对角线A′B上，且A′M=12MB，点N在对角线A′C上，且A′N=13NC．
(1)设向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、b、c表示向量D′M、D′N；
(2)求证：M、N、D′ 三点共线．
【变式5-3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知a，b，c是空间中不共面的向量，若AB=2a−b+c，AC=a+2b−c，AD=−a+mb+nc.
(1)若B,C,D三点共线，求m,n的值；
(2)若A,B,C,D四点共面，求mn的最大值．
【题型6 空间向量的坐标运算】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量a=1,2,0,b=(0,−1,1),c=(2,3,m)，若a,b,c共面，则实数m= （ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-1】（2023·西藏日喀则·一模）已知向量a→=(−2,1,3)，b→=(−1,1,x)，若a与b垂直，则a+2b=（ ）
A．2B．52C．213D．26
【变式6-2】（2024·四川内江·模拟预测）已知a=(2,−2,−3)，b=(2,0,4)，则cs〈a,b〉=（ ）
A．48585B．−48585C．0D．1
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）设A,B,C三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB⋅AC的最小值为（ ）
A．−94B．−2C．−32D．−43
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，G为△ACD的重心，若BG=xAB+yAC+zAD，则x+y+z=（ ）
A．−13B．13C．−23D．23
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设x，y∈R,a=1,1,1,b=1,y,z,c=x,−4,2，且a⊥c,b∥c，则2a+b=（ ）
A．22B．0C．3D．32
3．（24-25高二上·上海·课后作业）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3e2，DC=2e1−e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8B．-4C．-2D．8
4．（2024·湖南长沙·一模）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC⋅BD1的值为（ ）
A．10.5B．12.5
C．22.5D．42.5
5．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AP=AB+12AD+14AA1，截面AD1P与正方体侧面BCC1B1交于线段MN，则线段MN的长为（ ）
A．1B．2C．322D．22
6．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则PA⋅PB的最大值为（ ）
A．2B．74C．34D．14
7．（2023·河南·模拟预测）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD，侧面A1ADD1都是正方形，且二面角A1−AD−B的大小为120°，AB=2，若P是C1D与CD1的交点，则AP=（ ）

A．3B．5C．7D．3
8．（2024·江苏盐城·模拟预测）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马P−ABCD，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，M为底面ABCD及其内部的一个动点且满足PM=5，则PM⋅BM的取值范围是（ ）
A．[1−22,1+22]B．[−1,2]C．[1−2,−1]D．[−1,1]
二、多选题
9．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的是（ ）
A．AB+BC+CC1；B．AA1+A1D1+D1C1；
C．AB+BB1+B1C1；D．AA1+A1B1+B1C1．
10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列说法正确的是（ ）
A．CM=−12a−12b+cB．CM，AC1=π3
C．BD1=a+b+cD．AD⋅BD1=1
11．（2024·江苏南京·二模）已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，点P在△A1BD内，则（ ）
A．A1P//平面B1CD1B．A1P⊥AC1
C．PC1≥6APD．AP+PC1≥26
三、填空题
12．（2024·上海·三模）已知空间向量a=1,−1,0，b=0,1,1，c=1,2,m共面，则实数m= .
13．（2024·山东济南·一模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，AM=2MB，A1N=mA1C1，且BN//平面A1CM，则m的值为 .
14．（2024·辽宁·一模）已知e1，e2是空间单位向量，e1，e2=105°，若空间向量a满足a⋅e1=1，a⋅e2=2，且对于任意x，y∈R，都有a−(xe1+ye2)≥a−(x0e1+y0e2)=1（其中x0，y0∈R），则a= ．
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)AB+AD+AA′；
(2)DD′−AB+BC；
(3)AB+AD+12DD′−BC.
16．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点A−2,0,2，B−1,1,2，C−3,0,4，设a=AB，b=AC．
(1)若ka+b与ka−2b互相垂直，求实数k的值；
(2)若c=3，c//BC，求c．
17．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4,OP⊥底面ABCD，E,F分别为侧棱PB,PD的中点，点M在CP上且CM=2MP．求证：A,E,M,F四点共面.
18．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，D1E=BF=1，设DA=a，DC=b，DD1=c.
(1)试用a，b，c表示EF；
(2)求EF的长.
19．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：a1a2a3b1b2b3c1c2c3= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2.若a×b=ijkx1y1z1x2y2z2，则称a×b为空间向量a与b的叉乘，其中a=x1i+y1j+z1kx1,y1,z1∈R，b=x2i+y2j+z2kx2,y2,z2∈R，i,j,k为单位正交基底.以O为坐标原点，分别以i,j,k的方向为x轴､y轴､z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A,B是空间直角坐标系中异于O的不同两点.
(1)①若A0,2,1,B−1,3,2，求OA×OB；
②证明：OA×OB+OB×OA=0.
(2)记△AOB的面积为S△AOB，证明：S△AOB=12OA×OB；
(3)问：(OA×OB)2的几何意义表示以△AOB为底面､OA×OB为高的三棱锥体积的多少倍？
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直
2023年新高考I卷：第18题，12分
2024年上海卷：第15题，5分
空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，常以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易.
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ