广东省广州市部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，
故．
故选:D
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件．
故选：A.
3. 函数与的对应关系如下表．
则的值为（ ）
A. 0B. 3C. 1D.
【答案】A
【解析】根据表格，，，
故选：A.
4. 下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（ ）．
A. 对于实数a,b∈R，有
B. 幂函数的图象过定点和点
C. 存在幂函数图象过点
D. 当时，幂函数在第一象限内函数值随x值的增大而减小
【答案】D
【解析】A选项：，故A不合题意；
B选项：幂函数不过点，故B不合题意；
C选项：不是全称量词命题命题，故C不合题意；
D选项：当时，幂函数在上单调递减，故D正确.
故选：D．
5. 若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数是上的减函数，
所以，
故选：
6. 若均大于零，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】均大于零，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.故选：D.
7. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（ ）
A. 定义域为
B. 当时，的值域为；当时，的值域为
C. 为偶函数
D. 在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】B
【解析】显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；
的函数值只有两个，的值域为，故B错误；
若，则，；若，则，；
所以为偶函数，故C正确；
由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性,
故D正确.
故选：B
8. 已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的对称轴为直线，
因为函数在区间上递减，
所以.
所以，，
所以.
因为，所以.
故选：B
二、多选题（本大题共3小题，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，错选不得分）
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】BCD
【解析】对于A，对于，由得或，故的定义域为；
对于，由得，故的定义域为；所以与不是同一函数，故A错误；
对于B，由根式指数幂知，且与的定义域都为，所以与是同一函数，故B正确；
对于C，对于，当时，；当时，；又当时，；
综上：，所以与是同一函数，故C正确；
对于D，显然与解析式表达式一样，所以与是同一函数，故D正确.故选：BCD.
10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】因为的解集为，
所以，解得，所以A错误；
对于B：将代入可得，解得，B正确；
对于C：不等式的解集为，
所以时，C错误；
对于D：将代入可得，即，
解得，D正确，
故选：BD
11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A. 的最小值为B. 在上单调递减
C. 的解集为D. 存在实数满足
【答案】ACD
【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，
所以，
函数图象如下所示：
可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，
可得在上取得最小值，故A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，解得或，
综上可得的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知集合，则集合A真子集个数为_____（填数字）
【答案】511
【解析】由题意，，，有9个元素，故集合A真子集的个数为：
故答案为：511
13. 命题：，，则是________.
【答案】，，
【解析】命题：，为全称量词命题，
则是，，
故答案为：，，
14. 已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】不妨令，则等价于，
可得，
构造函数，则是上的增函数，
因为，
所以等价于，
即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知的定义域为集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）意义，则有，解之可得：，
所以集合.
（2），所以,
因为，所以分和两种情况；
若，则，解得：；
若，要使成立，则有，解得：，
综上所述：实数的取值范围.
16. 已知是定义在 上的偶函数，且时，．
（1）求，；
（2）求函数的表达式；
（3）判断并证明函数在区间上的单调性.
解：（1）.
（2）设

因为函数f(x)为偶函数，所以有
即，
所以.
（3）设，，
∵ ∴
∴ ∴f(x)在为单调减函数.
17. 设函数.
（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
（2）解关于的不等式；
解：（1）函数，又有且只有一个元素，
则方程有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设，
所以的取值集合为.
（2）依题意，，整理得，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
18. 某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为:，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴.
（1）当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润; 如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损?
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?
解：（1）当时，该项目的利润，
∵，则，故该项目不能获利，
当时，取到最小值，
故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损.
（2）当时，平均处理成本，
当时，平均处理成本取到最小值250；
当时，平均处理成本，
当，即时，平均处理成本取到最小值200；
∵，故该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
19. 已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
解：（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，故．
（2）由题意知，则在定义域上单调递减，
若实数，（），使函数在上值域为，
则，两式相减，得，
故，
而，所以，即，
将该式代入，
得，
令，由，知，即，
故，所以，
由于在上单调递减，所以，
故存在实数，（），使函数在上的值域为，
此时实数的取值范围为.
x
0
1
x
1
2
3
1
3
2
0
1