广东省广州市艺术中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市艺术中学高一下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 在中，若，则， 某兴趣小组9名同学的数学成绩等内容，欢迎下载使用。
本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的加法法则计算即得.
【详解】
故选：C.
2. 下列命题中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量运算法则、向量数量积公式注意判断即可得出答案．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误．
故选：B．
3. 一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样法从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器台数是（ ）
A. 甲厂9台，乙厂5台B. 甲厂8 台，乙厂6台
C. 甲厂 10 台，乙厂4台D. 甲厂7台，乙厂7台
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比计算即得.
【详解】依题意，甲厂抽得的热水器台数是，乙厂抽得的热水器台数是.
故选：B
4. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
5. 在中，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理，可把变形为，从而解出，进而求出．
【详解】∵，
∴根据正弦定理得，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴1=2sinA，即，
，或．
故选：AD．
6. 为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如下图），已知从左到右各长方形高的比为，则该班学生数学成绩在之间的学生人数是（ ）
A. 32B. 27C. 24D. 33
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得高的比就是频率比，然后由频率和为1可得成绩在之间学生的频率，即可得答案.
【详解】高的比就是频率的比，所以各区间上的频率可依次设为，，，，，，
它们的和为，所以，
所以该班学生数学成绩在之间的学生人数的频率为，
则对应人数为.
故选：D.
7. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴越爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的扇形图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）

A. 这五个社团的总人数为100
B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的
C. 这五个社团总人数占该校学生人数的
D. 脱口秀社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形图及有关数据得各个社团比例，计算人数判断各选项即可.
【详解】这五个社团的总人数为，，故A错误，C错误.
因为太极拳社团人数的占比为，
所以脱口秀社团人数的占比为，
所以脱口秀团在扇形统计图中所占圆心角的度数为，
故B正确，D错误.
故选：B
8. 如果数据的平均数是，方差是，则的平均数和方差分别是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数与方差的性质,即可求得变化后的平均数和方差.
【详解】的平均数是,
由于数据的方差为,所以的方差为,
故选:C.
【点睛】本题考查了平均数与方差的性质,由一次表达式变化后的平均数与方差求法,属于基础题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（ ）
A. 中位数是88.5B. 上四分位数是91
C. 下四分位数是80D. 极差是30
【答案】BCD
【解析】
【分析】由中位数，下四分位数，上四分位数，极差概念结合题目数据可得答案.
【详解】将数据从小到大排列，有，，，，，，，，.
对于A，因数据个数为9，则中位数为第5个数据，即89，故A错误；
对于B，上四分位数为分位数，因，则上四分位数为第7个数据，
即91，故B正确；
对于C，下四分位数为分位数，因，则下四分位数为第3个数据，
即80，故C正确；
对于D，极差为，故D正确.
故选：BCD
10. 下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ）
；；的虚部是；对应的点在第四象限.
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简复数，结合复数模，共轭复数定义，以及复数的概念和复数的几何意义，逐个判定，即可求解.
【详解】由复数，
所以，，复数的虚部为，
且复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以，，正确，不正确.
故选：ABD.
11. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A 极差B. 45百分位数C. 中位数不变D. 众数
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后分别分析极差、45百分位数、中位数、众数的变化即可得结论．
【详解】某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，
对于A选项，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A选项错误；
对于B选项，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，
所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据，数据没变，故B选项正确；
对于C选项，由，所以将10个数据从小到大排列，中位数为第5个和第6个数据的平均数，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，
中位数为第4个和第5个数据的平均数，即为原来的第5个和第6个数据的平均数，数据没变，故C选项正确；
对于D选项，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D选项错误．
故选：BC.
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数的值是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的运算可化简所求复数.
【详解】.
故答案为：.
13. 已知向量，，若，则向量与的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式求解.
【详解】由，得，由，得，
解得，而，于是，又，
所以向量与的夹角.
故答案为：
14. 如图为两种商品2019年前三季度销售量的折线统计图，结合统计图，下列说法中正确的有________.
①1~6月，商品的月销售量都超过商品
②7月份商品与商品的销售量相等
③对于商品，7~8月的月销售量增长率与8~9月的月销售量增长率相同
④2019年前三季度商品的销量逐月增长
【答案】①②④.
【解析】
【分析】结合折线统计图，逐一判断即可得解.
【详解】解：由两种商品2019年前三季度销售量的折线统计图可得：
对于①，1~6月，商品的月销售量都超过商品，即A正确；
对于②，7月份商品与商品的销售量相等，即B正确；
③对于商品，7~8月的月销售量增长率为负数， 8~9月的月销售量增长率为0，即C错误；
对于④，2019年前三季度商品的销量逐月增长，即D正确，
即说法中正确的有①②④，
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查了折线统计图，重点考查了识图能力，属基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 实数分别取什么数值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）与复数互为共轭.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据纯虚数和共轭复数概念分别列出关于的方程或方程组，然后求解的值.
【小问1详解】
根据纯虚数的定义，可列出方程组.
解方程，得或.
解不等式，得且.
综合方程和不等式的解，可得.
【小问2详解】
根据共轭复数的定义，可列出方程组.
解方程，得或.
解方程，得.
综合两个方程的解，可得.
16. （1）已知向量，，若，求的值；
（2）、的夹角为，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）分析可知、方向相反，可得出关于实数等式与不等式，解之即可；
（2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】（1）设、的夹角为，则，易知、均为非零向量，
因为，则，所以，、方向相反，
因为向量，，则，解得；
（2）因为、的夹角为，，，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，.
17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案；
（2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案.
【小问1详解】
因为，，且，
则.，
由正弦定理得，
因为，所以，
可得，即.
且，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得，或（舍），
所以面积.
18. 在菱形ABCD中，，，记，.
（1）用，表示；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若在上的投影向量的模为2，求菱形面积：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形，利用向量的线性运算求解.
（2）由（1）的结论，利用数量积运算律及数量积的定义求出的值.
（3）结合（2）的结论求出菱形边长，再求出边上的高，进而求出面积.
【小问1详解】
在菱形ABCD中，，，
.
【小问2详解】
设菱形ABCD的边长为，由（1）知，而
由，得，整理得，
因此，所以.
【小问3详解】
由（2）知，，由在上的投影向量的模为2，得，解得，
而，因此菱形边上的高，
所以菱形的面积.
19. 为了响应政府号召，增加农民收入，某村委会指导当地村民在果园里进行生态鸡的养殖，在2023年8月初，为了解所养殖的生态鸡的质量（单位；kg）情况，养殖负责人随机抓取了一部分鸡进行称重，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），以样本估计总体．

（1）求养殖的生态鸡的质量的平均值．
（2）该地现养殖有5000只鸡，为了减轻养殖的压力，养殖负责人计划卖掉一部分鸡，另一部分计划春节再卖掉．若现在卖掉，价格为20元/kg，到春节卖掉，预估价格为22元/kg．现有以下两种方案：
方案一：体重不低于2.5kg的现在卖掉，其余的养殖到春节再卖掉，剩余的鸡平均每只需要10元养殖费用，到春节时，平均质量可以达到2.5kg；
方案二：体重不低于2kg的现在卖掉，其余的养殖到春节再卖掉，剩余的鸡平均每只需要10元养殖费用，到春节时，平均质量可以达到3kg．
从经济收益的角度来看，选择哪种方案更合适？
【答案】（1）2.25
（2）选择方案二的经济收益更高
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图求出平均数；
（2）计算出方案一和方案二的总收益，比较后得到结论.
【小问1详解】
养殖的生态鸡的质量的平均值为．
【小问2详解】
方案一：现在卖掉的鸡的数量为（只），
现在卖鸡的收益为（元），
春节卖鸡的收益为（元），
总收益（元）；
方案二：现在卖掉鸡的数量为（只），
现在卖鸡的收益为（元），
春节卖鸡的收益为（元），
总收益为（元）．
由可知，选择方案二的经济收益更高．