初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形优秀第2课时课后测评

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【1】在△ABC中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定
△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．，，B．
C．，D．
【2】如图1，在△ABC中，，平分，下列结论不一定正确的是（ ）．
A．B．C．D．
图1图2图3
【3】如图2，△ABC的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
能力进阶：
【1】如图3，在△ABC中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则△AMN的周长为（ ）
A．B．C．5D．不能确定
【2】如图， 平分 ， ，垂足为 ， 交 的延长线于点 ，若 恰好平分 ，则下列结论中：
①是△ABC的高；②是△ABC的中线；
③；④ ．
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
巅峰突破：
【1】已知，如图，在△ABC中，，，，点D在边上运动，连接，将沿着翻折，点B落在点E处，连接．当时，的长为 ．
【2】数学课上，老师出示了如图中的题目．
如图，在等边△ABC中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，归纳猜想】
（）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由；
【特例启发，推理证明】
（）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程；
【拓展延伸，问题解决】
（）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
第 2 课时 等腰三角形的判定分层练习答案与解析
基础夯实：
【1】在△ABC中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定
△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．，，B．
C．，D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答．
根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件．
【详解】解：A、
，
∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意；
B、∵ ，
，没有两边相等，
∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意；
C、∵ ，
，
，
，
是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意；
D、，
，
，
是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意；
故选：B．
【2】如图1，在△ABC中，，平分，下列结论不一定正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵平分，
∴，，故B，C选项正确，不符合题意；
根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意；
故选：D
【3】如图2，△ABC的面积为，平分，，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以．
【详解】解：延长交于，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：C．
能力进阶：
【1】如图3，在△ABC中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则△AMN的周长为（ ）
A．B．C．5D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用“角平分线+平行线”推出等腰三角形，从而将的周长转化为与的长度之和．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
同理可得．
的周长为
∵，，
∴周长为；
故选：A．
【2】如图， 平分 ， ，垂足为 ， 交 的延长线于点 ，若 恰好平分 ，则下列结论中：
①是△ABC的高；②是△ABC的中线；
③；④ ．
其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，证明为等腰三角形， 由等腰三角形的性质得，，即可判定①②；过点作于，由角平分线的性质可得，，即可判定③；证明，得，同理可得，即得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵平分，
∴，，故①②正确；
过点作于，如图，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，故③正确；
在和中 ，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故④正确；
综上，结论正确的个数有个，
故选：．
巅峰突破：
【1】已知，如图，在△ABC中，，，，点D在边上运动，连接，将沿着翻折，点B落在点E处，连接．当时，的长为 ．
【答案】2.5
【分析】本题考查了翻折，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，根据翻折得出，，根据平行线的性质得出，，等量代换得出，根据等角对等边得出，即可求解．
【详解】解：∵翻折，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
【2】数学课上，老师出示了如图中的题目．
如图，在等边△ABC中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，归纳猜想】
（）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由；
【特例启发，推理证明】
（）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程；
【拓展延伸，问题解决】
（）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】（），理由见解析；（）见解析；（）不发生变化，证明见解析
【分析】（）证明，得到，即可求证；
（）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证；
（）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证；
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（）解：，理由如下：
∵是等边三角形，点为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（）证明：如图，过点作交于点，
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（）不发生变化，证明如下：
如图，过点作交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．