数学3 直角三角形优秀第1课时课后作业题

这是一份数学3 直角三角形优秀第1课时课后作业题，共8页。
【1】在△ABC中，∠C=90°,∠A=2∠B，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【2】已知△ABC的三边分别为a,b,c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2+c2=b2 B．∠A+∠B=∠C
C．a=6,b=8,c=10 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【3】在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．(−4,2)B．(0,4)C．(4,2)D．(−2,2)
能力进阶：
【1】如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
(1)求证：∠ACD＝∠B.
(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．
【2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC的长是（ ）
A．12B．10C．8D．6
巅峰突破：
【1】已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为 ．
【2】如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，设点P的运动时间为ts．当PQ与△ABC的一条边垂直时，t= s．
第 1课时 直角三角形分层练习答案与解析
基础夯实：
【1】在△ABC中，∠C=90°,∠A=2∠B，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
解：B．
【2】已知△ABC的三边分别为a,b,c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2=a2−c2 B．∠A+∠B=∠C
C．a=6,b=8,c=10 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
解：D．
【3】在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．(−4,2)B．(0,4)C．(4,2)D．(−2,2)
解：C.
能力进阶：
【1】如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
(1)求证：∠ACD＝∠B.
(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．
解:(1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，S△ABC=12×AB×CD=12×AC×BC，
∴5CD＝3×4，
∴CD＝125.
【2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC的长是（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】D
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据含30°角的直角三角形的性质求得BD=2AD=4，由等边对等角以及三角形内角和定理求得∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，进而求得∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°，再根据等边对等角得到AD=CD=2，最后根据BC=BD+DC即可得解．
【详解】解：∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形，
又∠B=30°，AD=2，
∴BD=2AD=2×2=4，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−30°=120°，
∵AD⊥AB，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−90°=30°，
∴△ACD是等腰三角形，即AD=CD=2，
∴BC=BD+DC=4+2=6，
故选：D．
巅峰突破：
【1】已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为 ．
【答案】15°或45°或75°
【分析】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解．
作出图形，分①点A是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，从而得到AD=BD=CD，再利用等边对等角的性质可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点A是底角顶点，AD在△ABC外部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACD=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是15°，③点A是底角顶点，AD在△ABC内部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠C=30°，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可．
【详解】解：①如图1，点A是顶点时．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵12BC=AD，
∴AD=BD=CD．
∵在Rt△ABD中，AD=BD，AD⊥BD，
∴∠B=∠BAD=12×180°−90°=45°；
②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时．
∵BC=2AD，AC=BC，
∴AD=12AC，
∴∠ACD=30°，
∴∠BAC=∠ABC=12×30°=15°；
③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时．
∵BC=2AD，AC=BC，
∴AD=12AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=12×180°−30°=75°；
综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°．
【2】如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，设点P的运动时间为ts．当PQ与△ABC的一条边垂直时，t= s．
【答案】2或4或8
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当PQ⊥BC时，如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ，如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，分别求解即可；
【详解】解：由题意BQ=tcm，PB=6−tcm，
①如图1中，当PQ⊥BC时，
∵∠PQB=90°，∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，
∴6−t=2t，
∴t=2．
如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2PB，
∴t=26−t，
∴t=4．
③如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，
∴t=212−t，
∴t=8，
综上所述，满足条件的t的值为2或4或8．
故答案为：2或4或8．