广东省江门市蓬江区2026年中考第一次模拟考试数学试题附答案

这是一份广东省江门市蓬江区2026年中考第一次模拟考试数学试题附答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．如果收入100元记作元，则元表示（ ）
A．支出70元B．收入70元C．支出80元D．收入80元
2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是 （ ）
A．正方形B．等腰三角形C．直角三角形D．圆
3．中国载人航天工程办公室透露，神舟飞船是由专门为其研制的“长征二号”火箭发射升空，火箭的起飞质量为497000千克，数据497000．用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同D．都不相同
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，，，三点在上，，则为（ ）
A．30°B．40°C．20°D．10°
8．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150B．200C．250D．300
9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．若分式有意义，则的取值范围为 ．
12．因式分解： ．
13．扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 .
14．若一元二次方程有两个实数根，，则的值是 ．
15．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．解方程组：
17．计算：．
18．如图，已知锐角三角形，．
（1）尺规作图：
①作的垂直平分线l；
②作的平分线，且交于点M．
（2）若l与交于点P，，求的度数．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
20．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
（1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
（2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
21．我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中顶点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中顶点”．
（1）如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中顶点”．
（2）中，，点是边上的“中顶点”，求线段的长．
（3）如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中顶点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
23．如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
（3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接，，求的最小值．
答案
1．【答案】C
【解析】【解答】解：元表示支出80元；
故选C．
【分析】根据相反意义的量，收入为正，则支出为负，从而得到答案．
2．【答案】C
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】A、正方形是轴对称图形，故本选项错误；
B、等腰三角形是轴对称图形，故本选项错误；
C、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项正确；
D、圆是轴对称图形，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：，
故答案为：D。
【分析】科学记数法的表示形式为：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：该几何体的主视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
俯视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；；
所以主视图与俯视图相同，
故答案为：A。
【分析】根据三视图的概念：从正面，上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，描绘三张所看到的图，即为三视图。从正面看到的图形叫作正视图（主视图），从上面看到的图形叫作俯视图，从侧面看到的图形叫作侧视图，在三视图中一般是选从左面看到的图形即左视图。据此即可判断。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项以及代数式加减法的运算规则，然后再对各个选项进行逐一求解即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：3x﹣1＞5，
3x＞5+1，
3x＞6，
x＞2，
故答案为：A。
【分析】先将不等式的常数项移到不等号右边，然后再合并同类项，最后再将系数化为1，即可求解，然后再根据求出的不等式解集在数轴上表示出来即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，，求出得的度数，然后再根据圆周角定理，即可求解。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了（度），
故答案为：B
【分析】由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故答案为：B．
【分析】首先根据函数图象，可得出a＜0，b＞0，c＞0的正负号，故而得出①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，可得出②正确；由，得，令，求函数值，即可判断③正确；令时，则，令时，，再把两个式子相加，即可判断④正确；综上即可得出答案。
11．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：x+4≠0，
解得：x≠-4；
故答案为：x≠-4；
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】先提取公因式2得2（m2-16），再把m2-16利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案为。
13．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意， .
故答案为： .
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案.
14．【答案】8
【解析】【解答】解：∵有两个实数根，，
∴，，
∴
故答案为：8。
【分析】根据韦达定理，分别求出和的值；然后再根据，然后再代入数据即可求解。
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，在下方作，过点P作于E，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时最小，即此时最小，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】在下方作，过点P作于E，根据含30度角的直角三角形的性质得到，故当三点共线，且时最小，即此时最小，由矩形的性质得到，，易证是等边三角形，则，，，再求出的度数，进而得到代入疏忽求出DE的值，据此即可求解。
16．【答案】解：
①+②，得．
∴．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
17．【答案】解：原式
。
【解析】【分析】根据绝对值的性质，零次幂的运算法则，二次根式的运算法则和负整数指数幂的运算法则，然后再根据特殊角的三角函数值，然后对各个式子进行运算，最后再将结果进行加减即可。
18．【答案】解：（1）①如图直线l为所求作的图形；②射线为所求作图形．
（2）∵BC的垂直平分线为l，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∵BM平分∠ABC，
∠ABP＝∠CBP＝32°，
∵∠A＝60°，
∴．
【解析】【分析】（1）①分别以BC为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧有两个交点，过这两点作直线即为的垂直平分线l；
②以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BC，CA于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半为半径作弧，两弧相交于∠ABC内一点，过点B和这个交点作射线，交AC于点M，即可完成作图；
（2）首先根据垂直平分线的性质，可得出PB＝PC，进而可得∠PBC＝∠PCB＝32°，再根据角平分线的定义，可得出∠ABP＝∠CBP＝32°，进而根据三角形外角的性质，可得出．
19．【答案】（1）100；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
​​​​​​
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
20．【答案】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%。
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元。
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元。
【解析】【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，先算出第二天的销量，然后再计算第三天的销量，即可求出x的值，最后再根据x的取值范围进行取舍即可。
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润，建立方程：，然后再求出y的值，最后再根据“要使顾客得到实惠”，则涨价应该取最小，即可求解。
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，根据“现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元”，然后再建立方程：
，求出z的值，然后再根据z的取值，即可求解。
（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
21．【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为点B，
设秋千绳索的长度为x尺，则OA=OA'=x，A'B=10，AB=5-1=4，
∴0B=OA-AB=x-4，
∴在Rt△A'OB中，OA'2=OB2+AB2，
x2=（x-4）2+102，
解得：x=14.5，
答：秋千绳索OA的长度是14.5尺.
（2）解：能.
根据题意可知：∠A'PO=∠A''QO=90°，OA=OA'=OA''，
在Rt△A'PO中，csα=，
∴OP=OA'·csα=OA·csα，
同理可得：OQ=OA''·csβ=OA·csβ，
又∵h=OQ-OP，
∴h=OA·csβ-OA·csα=OA·（csβ-csα）
∴OA=.
【解析】【分析】（1）根据题意作A'B⊥OA构造直角三角形，设秋千绳索的长度为x尺，然后根据勾股定理，求解即可解决问题；
（2）根据题意可知，∠A'PO=∠A''QO=90°，OA=OA'=OA''，再利用直角三角形的三角函数表示OP、OQ，再根据h=OQ-OP即可解决问题.
（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
22．【答案】（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中顶点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中顶点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
​​​​​​
（3）①证明：由圆周角定理得，，，∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中顶点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
​​​​​
【解析】【分析】（）如图，根据三角形相似，可取格点，连接交于，点即为所求；
（）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解；
（）①证明可得，再根据点是中边上的“中顶点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解．
（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中顶点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中顶点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
（3）①证明：由圆周角定理得，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中顶点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
23．【答案】（1）解：设抛物线，
把代入，，解得，，
∴
（2）解：∵顶点为，点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
当时，，即．
∴
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，即yF=，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，如图，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将代入解析式求出a，即可求得；
（2）先求出C点坐标，再求得点E的纵坐标，作差即可求得CE的长；
（3）①根据平行四边形的性质可得yF=，根据点F落在抛物线上，求得XF即可；
②过点B作BN⊥y轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
（1）∵抛物线的顶点坐标为．
设抛物线，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵顶点为．点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
设，
当时，，
∴．
∴．
（3）①根据题意，得，
∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1
男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1