2022年广东省江门市蓬江区中考数学第一次联考试卷

这是一份2022年广东省江门市蓬江区中考数学第一次联考试卷，共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是
A．B．
C．D．
2．（4分）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是
A．
B．
C．
D．
3．（4分）对于不等式组，下列说法正确的是
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解集为
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
4．（4分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中，这家商店
A．不盈不亏B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元
5．（4分）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，点的坐标为，将沿直线翻折，得到△，过作垂直于交轴于点，则点的坐标为
A．B．C．D．
6．（4分）若、为方程的两个实数根，则的值为
A．B．12C．14D．15
7．（4分）如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，的面积为，则关于的函数图象是
A．B．
C．D．
8．（4分）将正整数1至2018按一定规律排列如下：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是
A．2019B．2018C．2016D．2013
9．（4分）一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
10．（4分）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
11．（4分）在从小到大排列的五个数，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则的值为 ．
12．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则的值为 ．
13．（4分）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
14．（4分）如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为 ．
15．（4分）如图，是等边三角形中的一个点，，，，则三角形的边长为 ．
16．（4分）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为 ．
17．（4分）如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于2；③，，，是抛物线上两点，若，则； ④若抛物线经过点，则方程的两根为，3．其中正确结论的序号为 ．
18．（4分）如图，中，，，垂足分别为、，、交于点，请你添加一个适当的条件： ，使．
19．（4分）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是 ．
20．（4分）如图，四边形是边长为2的正方形，点是边上一动点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，交于点，连接，有下列结论：
①；
②；
③；
④的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
三、解答题（一）：本大题共2小题，每小题8分，共16分．
21．（8分）时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进、两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进、两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进、两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
22．（8分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，过点作半圆的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求半圆的半径长．
四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即，我们把式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求这个式子的最大最小值．我们以“已知为实数，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，
，，
，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值．则有最小值．
访同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求的最小值．
24．（10分）现国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发观，当取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
（1）根据表中规律，写出的展开式；
（2）多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（3）请你猜想多项式取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）；
（4）利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
25．（12分）已知，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，为抛物线的顶点，点在轴点的上方，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）求证：直线是外接圆的切线；
（3）在直线上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标；
（4）在坐标轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．
26．（12分）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式．
2022年广东省江门市蓬江区中考数学第一次联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本小题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）如图所示的几何体，其俯视图是
A．B．
C．D．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图为：
故选：．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是正确解答的前提．
2．（4分）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是
A．
B．
C．
D．
【分析】判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个锐角的和即可．
【解答】解：选项图中，三角形三个内角都是锐角，则，
“锐角，锐角的和小于”是假命题，
故选：．
【点评】本题考查了举反例判断真假命题，理解题意是解题的关键．
3．（4分）对于不等式组，下列说法正确的是
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解集为
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
【分析】确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
【解答】解：，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为，
所以不等式组的正整数解为1，2，3
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
4．（4分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中，这家商店
A．不盈不亏B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元
【分析】设两件衣服的进价分别为、元，根据利润销售收入进价，即可分别得出关于、的一元一次方程，解之即可得出、的值，再用两件衣服的进价后即可找出结论．
【解答】解：设两件衣服的进价分别为、元，
根据题意得：，，
解得：，，
（元．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（4分）在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，点的坐标为，将沿直线翻折，得到△，过作垂直于交轴于点，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】依据轴对称的性质可得，，，进而通过证得△，求得，即可证得的坐标为．
【解答】解：点的坐标为，
，，
，
将沿直线翻折，得到△，
，，，
，，
过作垂直于交轴于点，
，
，
，
，
△，
，即，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，正比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，求得对称点的坐标是解题的关键．
6．（4分）若、为方程的两个实数根，则的值为
A．B．12C．14D．15
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【解答】解：、为方程的两个实数根，
，，，
．
故选：．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．
7．（4分）如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，的面积为，则关于的函数图象是
A．B．
C．D．
【分析】首先根据正方形的边长与动点、的速度可知动点始终在边上，而动点可以在边、边、边上，再分三种情况进行讨论：①；②；③；分别求出关于的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题意可得．
①时，点在边上，，
则的面积，
解；故选项错误；
②时，点在边上，
则的面积，
解；故选项错误；
③时，点在边上，，
则的面积，
解；故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
8．（4分）将正整数1至2018按一定规律排列如下：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是
A．2019B．2018C．2016D．2013
【分析】设中间数为，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第八列数，即可确定值，此题得解．
【解答】解：设中间数为，则另外两个数分别为、，
三个数之和为．
根据题意得：、、、，
解得：，（舍去），，．
，
不合题意，舍去；
，
不合题意，舍去；
，
三个数之和为2013．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（4分）一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：，，，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴负半轴．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．
10．（4分）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】设，则有，推出要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出即可解决问题．
【解答】解：设，
，
，
，，
，
要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，
如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，
，
的最小值，
的最小值为．
解法二：如图，将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，．
则，，，
，
的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
11．（4分）在从小到大排列的五个数，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则的值为 1 ．
【分析】原来五个数的中位数是6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的平均数，由此可知加入的一个数是6，再根据平均数的公式得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】解：从小到大排列的五个数，3，6，8，12的中位数是6，
再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等，
加入的一个数是6，
这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等，
，
解得．
故答案为：1．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和平均数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
12．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则的值为 1 ．
【分析】设方程的两根分别为，，利用根与系数的关系得到，，利用代入消元法得到，然后解关于的方程得到满足条件的的值．
【解答】解：设方程的两根分别为，，
根据题意得，，
把代入得，
整理得，解得或（舍去），
所以的值为1．
法二：，
关于的一元二次方程的两根分别为，，且，
，
，
故答案为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
13．（4分）六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
【分析】利用得到，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
【解答】解：如图，，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出．
14．（4分）如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为 8 ．
【分析】连接，根据是的平分线可知，故可得出，再由是的直径可知是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理可得出的长．
【解答】解：连接，
，
是的直径．
的角平分线交于，
，
．
是的直径，
是等腰直角三角形，
．
，
．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
15．（4分）如图，是等边三角形中的一个点，，，，则三角形的边长为 ．
【分析】由绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，，即是等边三角形，得到，在中，，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，得到，．
又是等边三角形，，所以，是直角三角形，最后根据勾股定理即可求出边长．
【解答】解：将绕点逆时针旋转得，则与重合，连接，如图，
，，．
是等边三角形，
，
在中，，
且．
是直角三角形，且，．
又是等边三角形，．
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
16．（4分）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为 3 ．
【分析】可设点，由根据勾股定理得到的值，进一步得到点坐标，再根据待定系数法可求的值．
【解答】解：设点，
，
，
解得，（不合题意舍去），
点，
，
解得．
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点的坐标，难度不大．
17．（4分）如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于2；③，，，是抛物线上两点，若，则； ④若抛物线经过点，则方程的两根为，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，正确，符合题意；
②的面积，解得：，则点，即与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为，若，则，则点离函数对称轴远，故，故③错误，不符合题意；
④抛物线经过点，则过点，
根据函数的对称轴该抛物线也过点，故方程的两根为，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
18．（4分）如图，中，，，垂足分别为、，、交于点，请你添加一个适当的条件： 等（只要符合要求即可） ，使．
【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断与有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：，，垂足分别为、，
，
在中，，
又，
，
在和中，，
，
，
所以根据添加或；
根据添加．
可证．
故填空答案：或或．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
19．（4分）利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是 ② ．
【分析】仿照二维码转换的方法求出所求即可．
【解答】解：根据题意得：，
则表示6班学生的识别图案是②，
故答案为：②
【点评】此题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键．
20．（4分）如图，四边形是边长为2的正方形，点是边上一动点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，交于点，连接，有下列结论：
①；
②；
③；
④的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．（把正确结论的序号都填上）
【分析】①由得，再结合两直角相等得；
②在上截取，易得为等腰直角三角形，则，所以，再利用等角的余角相等得到，于是根据“”可判断，则根据全等三角形的性质可对②进行判断；
③由，，可得出与的大小关系，便可对③判断；
④设，则，，利用三角形面积公式得到，则根据二次函数的性质可得的最大值，便可对④进行判断．
【解答】解：①四边形是正方形，
，
，
，
，
，
故①正确；
②在上截取，如图1，
四边形为正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为正方形外角平分线，
，
，
，
，
而，
，
在和中
，
，
，
故②正确；
③，，
，
，
，
，
故③正确；
④设，则，，
，
当时，有最大值，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．构建与全等是关键．
三、解答题（一）：本大题共2小题，每小题8分，共16分．
21．（8分）时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示：型号价格
某营业厅购进、两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．
（1）营业厅购进、两种型号手机各多少部？
（2）若营业厅再次购进、两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进、两种型号手机各多少部；
（2）根据题意，可以得到利润与种型号手机数量的函数关系式，然后根据型手机的数量不多于型手机数量的2倍，可以求得种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设营业厅购进、两种型号手机分别为部、部，
，
解得，，
答：营业厅购进、两种型号手机分别为6部、4部；
（2）设购进种型号的手机部，则购进种型号的手机部，获得的利润为元，
，
型手机的数量不多于型手机数量的2倍，
，
解得，，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，
答：营业厅购进种型号的手机10部，种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
22．（8分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，过点作半圆的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求半圆的半径长．
【分析】（1）连接，由切线性质得，进而证明，得，便可得；
（2）设半径为，连接，，则，求得，再由勾股定理，利用为中间变量列出的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）连接，如图1，
过点作半圆的切线，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，，如图2，
设圆的半径为，则，
，，，
，，
，
，
．
故圆的半径为．
【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，已知切线，往往连接半径为辅助线，第（2）题关键是由勾股定理列出方程．
四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
23．（10分）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即，我们把式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求这个式子的最大最小值．我们以“已知为实数，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，
，，
，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值．则有最小值．
访同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求的最小值．
【分析】（1）根据题意得出，利用基本不等式可求出最值；
（2）根据题意得出，利用基本不等式可求出最值；
（3）根据题意得出，利用基本不等式可求出最值．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
当且仅当时取等号，
当时，函数的最小值为4；
（2），
，
，
，
，
当且仅当时取等号，
当时，函数的最小值为4；
（3），
，
，
，
，
当且仅当时取等号，
，
，
当时，函数的最小值为6．
【点评】本题考查了配方法的应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值，关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；记住若，时，．当且仅当时，“”成立．
24．（10分）现国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发观，当取正整数时可以单独列成表中的形式：
例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，
（1）根据表中规律，写出的展开式；
（2）多项式的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（3）请你猜想多项式取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）；
（4）利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）．
【分析】（1）根据表中的规律可以直接写出的展开式；
（2）根据表中的数字，可以得到多项式的展开式是一个几次几项式，再根据表中第三项系数的变化特点，可以得到多项式的第三项系数；
（3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式取正整数）的展开式的各项系数之和；
（4）根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题．
【解答】解：（1）由图可得，
；
（2）由图可知，
多项式的展开式是一个次项式，
的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
（3）的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
的展开式的各项系数之和，
，
取正整数）的展开式的各项系数之和是；
（4）
．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
25．（12分）已知，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，为抛物线的顶点，点在轴点的上方，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）求证：直线是外接圆的切线；
（3）在直线上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标；
（4）在坐标轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．
【分析】（1）由对称轴求出的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点的坐标；
（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理证出为直角三角形，．得出为外接圆的直径，再证明为直角三角形，．得出，即可得出结论；
（3）求出直线的解析式，再求出线段的中点的坐标，过点作，交抛物线于点，求出直线的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；
（4）由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线，点，
根据抛物线的对称性知点的坐标为，，
将，代入抛物线解析式中得：，
解得：，
抛物线解析式为；
当时，，
顶点．
（2）当时，
点的坐标为，
，，，
，
为直角三角形，．
为外接圆的直径，
点在 轴点的上方，且．
，
，
为直角三角形，．
，
又为外接圆的直径，
是外接圆的切线；
（3）设直线的解析式为，
根据题意得：，
解得：，直线的解析式为，
，，
线段的中点的坐标为，
过点作，交抛物线于点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
由，联立得：，
解得：或，
，或
，或，；
（4）分三种情况：①恰好为原点，满足，；
②在轴正半轴上，，此时；
③在轴负半轴上，，此时；
综上所述，点的坐标为或或．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、相似三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
26．（12分）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于，两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式．
【分析】（1）先求出点，点坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；
（2）设点，，则点，由两点距离公式可求，的长，可得，由二次函数的性质可求解；
（3）设平移后的抛物线解析式为，联立方程组可得，设点，，点，，可得，由中点坐标公式可得，可求的值，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，
点，点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，
，
抛物线顶点坐标为，；
（2）点，点，
，，
，
设点，，则点，
，
，
，
，，
当时，有最大值为，
此时，点，；
（3）设平移后的抛物线解析式为，
联立方程组可得：，
，
设点，，点，，
直线与抛物线交于，两点，
，是方程的两根，
，
点是的中点，
，
，
，
平移后的抛物线解析式为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质，根与系数关系，中点坐标公式等知识，利用参数列出方程组是本题的关键．
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