2023年广东省江门市蓬江区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省江门市蓬江区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一滴水的质量约，这个数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展投篮活动，六名选手投中篮备的个数分别为，，，，，，则这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  有五张仅有编号不同的卡片，编号分别是，，，，从中随机抽取一张，编号是奇数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位后，得到的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在正方形中，，若绕点旋转后，点落在的延长线上的点处，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  现有四条公共端点为的射线、、、，若点，，，按如图所示的规律排列，则点应该落在(    )

A. 射线上
B. 射线上
C. 射线上
D. 射线上

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  的算术平方根是______．

12.  分解因式：          ．

13.  在中，，，，则的值为______ ．

14.  如图，在中，，作边的垂直平分线，与、分别相交于点、，连接，若，则的度数为______ ．

15.  如图，的直径，和是它的两条切线，切点分别为、，切于点，交于点，交于点，设，，则与的函数关系式是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
为促进学生数学核心素养发展，某校拟开展初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

参与本次抽样调查的学生人数是______ 人；
图中扇形的圆心角度数为______ 度；
请补全统计图；
若参加成果展示活动的学生共有人，估计其中最喜爱“玩转魔方”项目的学生人数是多少？

19.  本小题分
某班组织学生开展全民健身跳绳活动，需购买，两种跳绳若干若购买根种跳绳和根种跳绳共需元；若购买根种跳绳和根种跳绳共需元．
求，两种跳绳的单价各是多少元；
若该班将购买，两跳绳共根，总费用不超过元，那么至多可以购买种跳绳多少根？

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点坐标为，点坐标为．
求这两个函数的解析式；
将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请说明直线向下平移了几个单位长度．

21.  本小题分
如图，在中，，，以为直径作分别交、于点、，过点作的切线交于点．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，在中，，，，点、分别是边、上的动点点不与点、重合，且，过点作，交于点，连接，设．
若，求的值；
当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处．
求抛物线的解析式；
连接，求的面积；
抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，，，，这组数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数为，
故选：．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：随机抽取卡片有种等可能结果，其中编号为奇数的有种可能，则概率为．
故选：．
利用直接列举法求出概率即可．
本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，因此该选项不符合题意；
B、，因此该选项符合题意；
C、，所以该选项不符合题意；
D、，因此该选项不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法运算，合并同类项，积的乘方及完全平方公式进行计算，继而判断即可．
本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将点向上平移个单位后，得到的点的坐标是．
故选：．
把点的横坐标不变，纵坐标加，即可得到平移后的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，掌握平移的规律是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则求出答案即可．
本题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握运算法则，准确计算．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
故选：．
根据正方形的性质得到，由勾股股定理可得，利用解题即可．
本题考查正方形的性质，扇形的面积，掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可得，到顺时针，到逆时针，每个点为一周期循环，
，
点落在上．
故选：．
根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点落在哪条射线上．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的算术平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根的定义解答即可．
本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
直接运用平方差公式分解即可．
本题考查因式分解运用公式法，掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
故答案为：．
先利用勾股定理求出，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
是的外角，
．
故答案为：．
依据垂直平分线的性质，即可得到，再根据三角形外角性质，即可得到的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的的性质以及基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，
、、是的切线，
、平分和，
，，


又
，
∽
，即，
．
故答案为：．

根据切线的性质证得∽解题即可．
本题考查切线的性质，相似三角形性的判定和性质，掌握切线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】分别解两个不等式，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分得到不等式组的解集．
 

17.【答案】解：

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式乘除混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：调查学生总数为人，
故答案为：；
，
故答案为：；
最喜爱“”的有人，
补全统计图如下：
；
人，
答：估计其中最喜爱“玩转魔方”项目的学生人数是人．
从两个统计图中可得样本中最喜爱“”的有人，占调查人数的，据此计算即可求解；
求出扇形所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
求得最喜爱“”的人数，即可补全条形统计图；
求出样本中最喜爱“”所占的百分比，进而估计总体中“”的百分比，求出相应人数即可．
本题考查了扇形统计图、条形统计图，掌握条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系是关键．
 

19.【答案】解：设，两种跳绳的单价各是元，元，
则，
解得，
答：，两种跳绳的单价各是元，元；
解：设可以购买种跳绳根，则
，
解得，
又为整数，
种跳绳至多可以购买根，
答：至多可以购买种跳绳根． 

【解析】设，两种跳绳的单价各是元，元，根据题意列出二元一次方程组解题即可；
设可以购买种跳绳根，根据题意列一元一次不等式解题即可．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，找准数量关系是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入，
解得：，
，
把代入得，，
，
把和代入得：，
解得，
；
将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，
直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，
，
整理得，
，
解得或，
即的值为或． 

【解析】根据待定系数法即可求得函数的解析式；
由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程只有一组解，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，将求反比例函数与一次函数的交点坐标问题，转化为将两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，
为的直径，
，
又，
，
；
连接，是作的切线，则，
，，
，

是的中位线，

，
又，
． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是得到，再由三线合一得到，进而得到结论；
连接，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，再根据的面积求出的长即可．
本题考查直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，勾股股定理，切线的性质，三角形的中位线，掌握切线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
，，，
，
，即，
；
由得，
，由勾股定理得，，
，
，
，
设四边形的面积为，
则，
，开口向下，
当时，四边形的面积最大，最大值为． 

【解析】根据勾股定理求得，由，代入数据即可求解；
同，利用三角函数的关系求得，，，再根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可．
本题是四边形的综合问题，主要考查的是三角函数的定义、二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点，
把，两点坐标代入得，
解得，
抛物线的解析式为．
抛物线与轴交于点，
令时，，
，
设直线的解析式为，
把，两点坐标代入得，
解得，
直线的解析式为；
点在直线上，轴于点
当时，
，
，
的面积是．
存在，理由如下：
，，
，
在中，
是等腰直角三角形，
点在抛物线上，
设点的坐标为，
当点在轴上方时记为，过作轴于点，

在中，
，
，
即，解得，舍去，
当时，
；
当点在轴下方时记为，过作轴于点，

在中，
，
，
解得，舍去，
当时，
，
综上，符合条件的点坐标是或． 

【解析】先根据翻折得到点坐标，然后结合，运用待定系数法求解即可；
先确定点的坐标，然后确定直线的解析式，进而确定、、，最后根据结合三角形的面积公式即可解答；
先说明是等腰直角三角形，设点的坐标为，然后分点在轴上方和下方两种情况分别解答即可．
本题考查二次函数综合，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．