【数学】甘肃省武威市普通高中教育联盟2025-2026学年高一上学期1月质量检测试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，，所以.
故选：D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】存在量词命题“”的否定为全称命题“”，
原命题的结论为“”，其否定为“”，
所以命题“”的否定为“，”.
故选：C.
3. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设扇形的半径为r，则，解得，
所以扇形的面积.
故选：B.
4. 已知实数满足，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于，故，若，则，
则，充分性成立，
但若，则，则或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，，
因为在上单调递减，故，
综上，.
故选：A.
6. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以.
故选：B.
7. 如图，已知摩天轮的半径为60米，其中心距地面的距离为70米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每36分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处.则摩天轮转动12分钟后点距离地面（ ）
A. 40米B. 110米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，
由题意得：，，，，
又，即，故，，
所以，
所以，
即摩天轮转动12分钟后点距离地面40米.
故选：A.
8. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】因为是幂函数，且在上单调递增，
所以，解得，
所以，易知，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 小于的角一定是锐角D.
【答案】ABD
【解析】，故A正确；
，故B正确；
锐角是大于且小于的角，但小于的角包含负角（如），
小于的角不一定是锐角，故C错误；
，，故D正确．
故选：ABD．
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的单调递减区间为
B. 当时，的单调递增区间为
C. 的图象关于轴对称
D. 当时，的定义域为
【答案】AC
【解析】选项A、B：当时，，
，解得或，
函数的定义域为，
函数开口向上，对称轴为，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，在上单调递减，
函数在上单调递减，在上单调递增，故A正确，
不在定义域内，故B错误；
选项C：，
定义域关于原点对称，
若图象关于轴对称，则是偶函数，即，
，
是偶函数，其图像关于轴对称，故C正确；
选项D：当时，，
定义域为，不是，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A：易知与在上单调递减，
故在上单调递减，
又因为，，
根据零点存在定理，可知零点，故A正确；
对于B：由题可知，，，
，易知与在上单调递增，
因此在上单调递增，
又因为，故，得，即，故B正确；
对于C：由B可知，，，
故，得，故C正确；
对于D：由B可知，在上单调递增，
，，由零点存在定理可知.
由C可知，则，因此，
令，解得，与矛盾，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边经过点，且，则的值是_____．
【答案】
【解析】因为角的终边经过点，所以，
又，所以，解得.
故答案为：.
13. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____．
【答案】
【解析】是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
故在上单调递增，
又，故，即，
所以，故或，解得或，
故解集为.
故答案为：.
14. 已知函数，则_____，在区间上的最大值与最小值之和为_____．
【答案】；
【解析】，
则
.
因，故.
，
因此.
设在上的最大值为，最小值为，
由可知，若，则，得；
若，则，得，
综上所述.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
解：（1）
.
（2）
.
16. （1）已知，，求和的值；
（2）已知，求和的值．
解：（1）因为，，
所以，；
（2）因为，所以，
，
.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的单调递增区间；
（3）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值.
解：（1）由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故，
函数的最小正周期，
又，所以，
由，所以，，
解得，，又，得，
所以.
（2）令，，解得，，
因为，所以令，得，
又，所以；
令，得，
又，所以，
所以函数在上的单调递增区间为和.
（3）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到，
又图象经过点，所以，，
解得，，所以，即的最小值是.
18. 已知函数是奇函数，且．
（1）求和的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式．
解：（1）因为是奇函数，所以，即，解得，
当时，，
可知，所以是奇函数.
因为，即，所以.
（2）由（1）可知，，
在上单调递增.
证明：任取，且，
则
，
因为，且在上单调递增，所以，即，
又，故，即，
因此在上单调递增.
（3）解不等式，
因为是奇函数，所以，
又在上单调递增，故：，
即，所以，
进而有，解得，
因此不等式的解集为.
19. 已知函数．
（1）若，求的值域；
（2）若，函数，且，求的零点的个数，并证明；
（3）若关于的不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
解：（1）若，.
因为，所以，
所以函数的值域为；
（2）若，的零点的个数为1个，理由如下：
若，，且，
所以，
又，所以，所以，
所以在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递增，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，则，所以，所以，
又，所以，故在无零点，
当时，，，
所以存在，使，
又在上单调递增，故的零点的个数为1个；
（3）因为，所以，又对恒成立，
所以对恒成立，故.
由，得，
所以，
所以，
当时，令，
则对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
若时，函数在上单调递增，
由关于的不等式对任意的恒成立，
可得，显然无解；
若时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，又，
所以不等式任意的恒不成立；
当时，在上单调递减，所以，又，
故不等式任意的恒不成立；
当时，函数在上单调递增，所以，
又，所以对任意的恒成立；
综上所述：的取值范围为．