【数学】甘肃省武威市普通高中教育联盟2026届高三上学期1月期末联考试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】由题意得，的虚部是3．
故选：D．
2. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，而，所以.
故选：C.
3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（ ）
A. B. 6C. D. 3
【答案】A
【解析】由椭圆方程可知，由椭圆定义可知．
故选：A．
4. 已知平面向量，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：D.
5. 二项式的展开式中常数项为（ ）
A. 10B. C. 5D.
【答案】D
【解析】根据题意二项展开式的通项公式为，
当，解得，
所以常数项为．
故选：D．
6. 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcsC+ccsB=2acsA，则A=（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】∵bcsC+ccsB=2acsA，
∴由正弦定理可得：sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcsA，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴csA=， ∴可得A=．
故选B．
7. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设公比为，
所以，
当且仅当，即3时取等号，此时.
故选：B.
8. 已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设球心为，球的表面积为，解得，
是边长为3的正三角形，
的外接圆半径，
到平面的距离，
到平面的距离的最大值为，
四面体的体积的最大值为：
，故C正确．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】BD
【解析】若，时，则，故A错误；
若，时，，故B正确；
若，当时，，但，命题不成立，故C错误；
当时，，又，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
A. B. 为单调递增数列
C. 使的的最小值为18D. 当且仅当时，最小
【答案】BC
【解析】A选项，设公差为，则，解得，
故，
，A错误；
B选项，因为，故为单调递增数列，B正确；
C选项，，令得或（舍去），
故使的的最小值为18，C正确；
D选项，因为，当时，，当时，，
当时，，故当或9时，最小，D错误.
故选：BC.
11. 设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（ ）
A. 曲线关于轴对称B. 是周期函数
C. 当时，D.
【答案】ABD
【解析】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得：
即，
故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确;
选项B：由，替换为得：
故，则的周期为4，
替换为得：，
故可设，
又由，
设,
故，由是奇函数，得
易得，替换为得：
，
故，
故的周期为4,
故选项B正确；
选项C：当时，，
令，则，
由选项B知，且是奇函数，
得，
故，
则：，
故选项C错误；
选项D：由周期为4，即，替换为得：
则，由选项B知，
故，
又，
故，
由，得，则：，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】由题意可得在上单调递减，且为偶函数，
所以等价于，
所以，解得，
故答案为：.
14. 已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______．
【答案】5
【解析】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上，
过点，倾斜角为，其斜率，
则的方程为，即，
代入C的方程，化简可得，解得或（舍），
当时，，故点A的坐标为，
直线过点，倾斜角为，其斜率，
则的方程为，即，
代入C的方程，化简可得，解得（舍）或，
当时，，故点B的坐标为，
因为，所以，所以是直角三角形，
且，
故.
故答案为：5.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求；
（2）设函数，求的单调区间．
解：（1）因为函数，且，所以，
又，所以.
（2）由（1）知：，
所以，
所以.
令，显然是增函数.
因为当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减.
所以当，
即时，函数单调递增；
当，
即时，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为：，
单调递减减区间为：.
16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
（2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
解：（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
（2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，
的取值分别为0，1，2，
则，
所以的分布列为
．
17. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系：
则，
，
所以，易知平面ABCD的一个法向量为：，
又，且平面，
所以平面；
（2）解：由（1）知：，
设平面的一个法向量为：，
则，即，
令，得，则，
设直线与平面所成的角为，
所以.
18. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.
（1）求的方程；
（2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.
①求证：直线过定点；
②若，求的面积.
（1）解：设点，由，得，，
由点到轴的距离为，得，又，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）①证明：由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为，
设，由轴，且点在抛物线上，得，
直线方程为，由，得点，
当时，直线的斜率，其方程为，
整理得，因此直线过定点，当时，直线过点，
所以直线过定点.
②解：由①知，，
因此，，
所以的面积.
19. 已知函数，．
（1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点；
（2）若时，，求a的取值范围；
（3）对的定义域内的任意，，证明：．
（1）解：的定义域为，，
因为是函数的极值点，所以，解得，
当时，，
因为，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点.
（2）解：，
当时，，，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，不合题意.
当时，由得，
当，即时，对成立，
所以在上单调递减，所以时，合题意；
当，即时，对成立，
所以在上单调递增，
所以当时，，不合题意.
综上，a的取值范围是.
（3）证明：因为，
所以要证成立，
只要证成立，
因为，所以只要证成立，
因为，，
所以只要证成立.
记，
则，对成立，
所以在上单调递减，
当时，，所以，
取，由知，从而，
所以成立，故原不等式成立.
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0
1
2