广东省江门市新会区名冠实验学校2025_2026学年高三上学期第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份广东省江门市新会区名冠实验学校2025_2026学年高三上学期第二次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据分式不等式的解法，可得集合A，进而可得，根据交集运算的概念，即可得答案.
【详解】由题意可得，等价于，解得，
所以，故或，
所以，
故选：B.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正确答案】A
【分析】根据复数的除法运算可得，再求模长即可．
【详解】由题意可得，
则．
故选：A．
3. 某学校高三学生共有900人，其中男生500人，为获取该校高三学生的身高信息，现采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ）
A. 抽取男生的样本量为40
B. 估计该校高三学生身高的均值为165
C. 抽样时女生甲被抽到的概率为
D. 估计该校高三学生身高的方差为19
【正确答案】C
【分析】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C.
【详解】某学校高三学生共有900人，其中男生500人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90的样本.
则抽取男生的样本量为，A选项错误；
男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，
则估计该校高三学生身高的均值为，B选项错误；
抽样时女生甲被抽到的概率为，C选项正确；
估计该校高三学生身高的方差为，D选项错误；
故选：C.
4. 记平面向量，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】由题意可得，
故向量在向量方向上的投影向量的坐标为
，
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
6. 把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（ ）
A. 270种B. 540种C. 720种D. 360种
【正确答案】D
【分析】根据分组分配法，即利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】每个车间至少分配一名技术员且人数各不相同,故三个车间分配到技术员的人数为1，2，3，
故共有种不同分配方案.
故选：D.
7. 已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（ ）
A. B. 2
C. D. 2
【正确答案】A
【分析】根据题目条件，使用正弦定理转化为，代入计算出最大值，再使用余弦定理计算出，从而得出，使用面积公式计算出面积的最大值.
【详解】已知，由正弦定理化简得：，
代入得：
，当且仅当“”时取等，
由余弦定理可得：，，
由同角三角函数关系可得：，
则面积.
故选：A
8. 已知是上奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小值.
【详解】由是奇函数，可得.
由，可得的图象关于对称，
即，则有，
所以，即的周期为.
因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称，
则在单调递增，即在单调递增.
又因为的图象关于对称，则在单调递减.
所以在一个周期内，
即在上的最小值是.
故选：C
二、多选题（每小题6分，共18分，部分选对得部分分，多选或错选不得分）
9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是的最小值
C. 在区间上的值域为
D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【正确答案】ABD
【分析】根据给定的图象求出函数的解析式可判断A；将代入解析式可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D.
【详解】函数的周期，则，，
当时，，
由，
得，即，
所以函数解析式为；
当时，，
由，
得，即，
所以函数解析式为，
因为，
所以，
对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，是的最小值，故B正确；
对于C，当时，，
利用正弦函数的性质知，，
得，故C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】当时，验证是否成立，即可判断A；根据平面向量数量积的坐标表示，验证是否成立，即可判断B；取，验证是否成立，即可判断C；验证是否成立，即可判断D.
【详解】若，则
，所以，故A正确；
因为，而，
所以，故B正确；
取，则，此时，
，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（ ）
A. ，，，四点共面
B. 线段为直三棱柱外接球的直径
C. 三棱锥的体积为
D. 异面直线与所成角为
【正确答案】BC
【分析】由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D.
【详解】对于A，直线平面，点平面，而直线，
点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误；
对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，
矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确；
对于C，点到平面的距离为，则，C正确；
对于D，取中点，连接，由是中点，得，
则是异面直线与所成角或其补角，
由已知，，，平面，
所以平面，故平面，
又平面，于是，而，
因此，即，D错误.
故选：BC
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 幂函数，则__________．
【正确答案】
【分析】由幂函数求参数值，再将自变量代入解析式求函数值.
【详解】由函数为幂函数，则，可得，
所以，则.
故
13. 的展开式中常数项为_______．
【正确答案】
【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，
所以，展开式中的常数项为.
故答案为.
14. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________．
【正确答案】
【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积.
【详解】如图：

在中，，，所以.
取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.
连接，因为，所以.
又（）.
所以，即.
又平面，，所以平面.
所以.
所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为，
在中，，，,
由.
所以三棱锥外接球的表面积为.
故
四、解答题（本大题共5小题，共计77分，解答应在各题写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 设的内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的周长.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）先根据正弦定理角化边得，再利用余弦定理求解；
（2）结合余弦定理可得，则可得的值，从而得解.
【小问1详解】
由正弦定理得，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，又，
所以，
故，解得，
故的周长为.
16. 某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．
（1）根据图中数据，估计强化训练后的成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．将表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？
附：．
【正确答案】（1）83.125；81.4
（2）表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练无关．
【分析】（1）根据强化训练后的频率分布直方图进行计算即可.
（2）根据频率分布直方图补全数据，计算出与小概率值的独立性检验对应的进行比较，即可得出结论.
【小问1详解】
因为，，
所以中位数在之间，
设中位数为，则，
解得.
平均数.
【小问2详解】
零假设：跳水运动员是否优秀与强化训练无关，补充完整的表格为
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
所以认为跳水运动员是否优秀与强化训练无关．
17. 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P．
（1）证明：平面AMN；
（2）求与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求点P到平面AMN的距离．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，进而得到，利用向量数量积的坐标运算得到，，即得垂直关系，最后应用线面垂直的判定证明结论；
（2）根据已知求得，再求平面的一个法向量，结合，向量法求线面角的正弦值；
（3）应用向量法求点面距离即可.
【小问1详解】
在直三棱柱中，则两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
所以，
由，则，
由，则，
由且都在平面内，则平面AMN；
【小问2详解】
设，，平面的一个法向量为，
由平面，则，可得，故，
设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面PMN所成角的正弦值为；
【小问3详解】
由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点P到平面AMN的距离.
18. 已知数列中，，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明：
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列.
（2）根据（1）的结论可求数列的通项公式.
（3）分析数列的单调性，即可证明.
【小问1详解】
因为，且.
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）可得：，所以.
【小问3详解】
，
因为，故.
而，
所以数列为递增数列，所以.
所以成立.
19. 已知函数.
（1）设的一个极值点为-1.
①求的值；
②讨论的单调性.
（2）当时，若，，求的取值范围.
【正确答案】（1）①3；②当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增.
（2）
【分析】（1）①先对求导，再利用极值点处导数为，把代入导函数，得到关于、的等式，进而求出. ②由得出关于的表达式，代入导函数.令导函数为，解一元二次方程得根.根据根的大小关系分情况，由导函数正负判断单调性.
（2）当时，将不等式变形分离出.令新函数等于分离后的式子，对其求导，根据导数正负确定单调性，求出最小值，从而得到的范围.
【小问1详解】
①首先对函数求导，可得.
因为的一个极值点为，所以.
将代入中，得到，即，所以.
②由，则，所以.
令，即，其判别式.
由求根公式，则，.
当，即，解得时，，所以在上单调递减. 无极值，不符合题意.
当，即时：
若，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所得，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，，因为，，即，移项可得.
因为，两边同时除以，得到.
令，对求导，.
因，（）.
令，即，解得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以处取得最小值.
因为恒成立，所以，即的取值范围是.
强化训练
是否优秀
合计
优秀
非优秀
强化训练前
强化训练后
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
强化训练前
40
60
100
强化训练后
60
40
100
合计
100
100
200