12.函数的模型构建跨学科训练——2026届高三数学一轮复习 习题+答案

这是一份12.函数的模型构建跨学科训练——2026届高三数学一轮复习 习题+答案，共7页。试卷主要包含了4B，6米B，研究表明地震释放的能量等内容，欢迎下载使用。

模型构建与函数之间存在着密切而复杂的关系，这种关系在不同领域有着不同的表现形式和影响机制。理解模型构建与函数的关系，不仅有助于更好地应用数学工具解决实际问题，也能培养系统思维和问题解决能力，这些能力在各个领域都具有重要价值。
模型构建对于函数的影响：
1.在数学建模中‌，模型构建通过实际问题驱动函数的选择和理解，增强了数学的应用价值，促进了从抽象概念到实际应用的转化。
2.在机器学习中‌，模型构建通过损失函数、激活函数等机制，将函数作为核心工具，实现了从数据到知识的转化。
3.在实践应用中‌，恰当的函数模型能够准确描述现实规律，为决策提供科学依据；而不恰当的函数选择则可能导致模型失效。
试题精研
1.下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A.B.C.D.
2.碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减并逐渐消失.已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量，其中为活体组织中碳14的质量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.4倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公元前（参考数据：）( )
A.5554年B.5546年C.7576年D.7577年
3.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（精确到0.1，参考数据：）( )
A.4.4B.4.7C.5D.5.4
4.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是( )
A.56.6米B.57.6米C.58.6米D.59.6米
5.研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（k，b为常数）.若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为( )（取）
A.焦耳B.焦耳C.焦耳D.焦耳
6.果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为y元，则与y之间的函数关系为( )
A.
B.
C.
D.
7.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式：，其中n为常数.为测算某蓄电池的常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的常数n大约为________.（精确到0.01）
8.某品牌手机经过三、四月份连续两次降价，每部售价由3200元降至2500元.设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是________.
9.通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）.若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为________℃时的蒸发速度为1.6升/小时.
10.某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的零件该厂可以盈利30万元，但每生产1万件次品将亏损10万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大.（注：次品率＝次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.
（1）将生产这批零件每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，该厂可获得最大利润?
答案以及解析
1.答案：D
解析：当时，指数函数增长速度最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快. 故选D.
2.答案：A
解析：由题意知，所以，所以，所以可推断该生物死亡的时间约为公元前年.故选A.
3.答案：A
解析：由题意知，
.故选A.
4.答案：B
解析：依题意，，当且仅当时取等号，所以烟花爆裂的高度是57.6米.故选：B.
5.答案：C
解析：依题意，，解得，，则时，，则焦耳.故选：C.
6.答案：C
解析：由题意可知函数关系式是，由题意可知最少买100千克，最多买千克，所以函数的定义域是.故；故选：C.
7.答案：2.25
解析：由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以.
故答案为：2.25.
8.答案：
解析：已知每部手机原价为：3200元，平均每月降价的百分率为x，
则降价一次后的价格为，降价两次后的价格为，
已知降价两次后的价格为，则.
故答案为：.
9.答案：40
解析：由题设，有，可得，令，可得.
故答案为：40
10.答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题意知，
当时，，故，
当时，，故，
所以盈利额y（万元）与日产量x（万件）间的函数关系为.
（2）当时，每天的盈利额为0；只需求时y的最大值，
设，则，且，
则，
①当，即时，，
当且仅当，即时，y取最大值160，此时.
②当，即时，由在上单调递增，
故在上单调递减，
所以当，即时，y取最大值.
综上所述，当时，日产量（万件）时，可获最大利润；
当时，日产量（万件）时，可获最大利润.