19.三角函数的创新定义 跨学科训练——2026届高三数学一轮复习 习题+答案

这是一份19.三角函数的创新定义 跨学科训练——2026届高三数学一轮复习 习题+答案，共9页。试卷主要包含了概念扩展与理论创新， 教学实践与高考改革， 跨学科应用与技术融合，定义，定义运算“”，已知定义域为R的函数满足等内容，欢迎下载使用。

三角函数作为数学的核心概念，其定义和内涵随着数学发展不断演进。创新定义不仅拓展了三角函数理论边界，更深刻影响了数学教育、工程实践和科学研究。创新定义通过打破传统三角函数框架，不仅丰富了数学理论内涵，更成为检验学生数学思维与创新能力的重要手段。掌握三角函数新定义的理解与应用方法，对提升数学综合素养和解决实际问题能力至关重要。
创新定义对于三角函数的影响：
1.概念扩展与理论创新：（1）定义方式的演进；（2）‌理论框架的突破；（3）‌数学表达的创新。
2. 教学实践与高考改革：（1）‌教学范式转变；（2）高考创新题型；（3）解题策略革新。
3. 跨学科应用与技术融合：（1）工程与物理领域；（2）人工智能创新；（3）编程实现优化。
试题精研
1.对于集合和常数，定义：为集合A相对的“正切方差”.若集合，，则( )
A.B.1C.D.2
2.已知角的顶点与原点重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法：
①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增；
③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象；
④方程在区间上有两个不同的实数解.
以上四个说法中，正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3.定义行列式运算，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则n的最小值为( ).
A.B.C.D.
4.在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，
①该函数的值域为；
②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线对称；
④该函数为周期函数，且最小正周期为.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
5.定义： 设不等式 的解集为， 若 中只有唯一整数， 则称 为“和谐解集”. 若关于 的不等式 在 上存在“和 谐解集”， 则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将以坐标原点O为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为( )
A.B.C.D.
7.已知函数定义域为C，值域为D，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过x的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为____________.
8.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为__________.
9.定义运算“”：.设函数，给出下列四个结论：
①是的最小正周期；
②在上有2个零点；
③在上是单调递增函数；
④的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到.
其中所有正确结论的序号是_________.
10.已知定义域为R的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质P.
(1)判断函数，是否具有性质P；（直接写出结论）
(2)已知函数，判断是否存在，，使函数具有性质P？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数具有性质P，且在区间上的值域为.
函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.
求证：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，得，
.故选：C.
2.答案：B
解析：根据题意，，，
对于①，令，，解得，取，可得，所以函数的图象关于点对称，故①正确；
对于②，，，由正切函数的性质可知在上单调递增，故②正确；
对于③，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故③错误；
对于④，，，令，由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且，
所以方程在区间上只有一个实数解，故④错误；故选：B.
3.答案：B
解析：由题意得，所以平移后所得图象对应的函数解析式为，因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，所以，，解得，，因为，所以令，可得n的最小值为.故选B.
4.答案：B
解析：由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确；
当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误；
当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误；
易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确.故选：B.
5.答案：A
解析：不等式 可化为.
画出函数 的图象 (图略)， 可知 只有一个整数解， 这唯一整数解只能是， 因为点 是 图象上的点， 所以.故选：A.
6.答案：C
解析：根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A，不是奇函数，A选项错误；
对于B，不是奇函数，B选项错误；
对于C，的定义域为R，且是奇函数，C项正确；
对于D，的定义域为，所以图像不经过坐标原点，D选项错误；故选：C.
7.答案：-36
解析：因为，，，，
所以由，可得，解得，即，
如图为的图象，
由的周期性，所以只需讨论一个周期内的情况即可，当时，，，
当时，，，当时，，，当时，，，所以，即在一个周期内的部分，由图得时，，
，，所以且在定义域内的x为2，3，4，8，9，10，所以数所有“子母数”之和为.故答案为：-36.
8.答案：
解析：由题意，设点，则M，N两点的曼哈顿距离为，当且仅当，时等号成立，所以M，N两点的曼哈顿距离最大值为.故答案为：.
9.答案：①②
解析：，
①：是的最小正周期，①正确；
②：，，故在或，即或时，，故在上有2个零点，②正确；
③：，，此时在上单调递增，在上单调递减，③错误；
④：的图象向右平移个单位长度得到，④错误.
10.答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)因为，则，
又，所以，故函数具有性质P；
因为，则，又，
，故不具有性质P.
(2)若函数具有性质P，则，即，
因为，所以，所以；
若，不妨设，由，得，只要k充分大时，将大于1，而的值域为，故等式不可能成立，所以必有成立，即，因为，所以，所以，则，此时，
则，而，
即有成立，所以存在，使函数具有性质P.
(3)由函数具有性质P及(2)可知，，
由可知函数是以为周期的周期函数，则，
即，所以，；
由，以及题设可知，函数在的值域为，
所以且；
当，及时，均有，这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，此时函数的值域为，
而，于是函数在的值域为，此时函数的值域为，函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，故，即，命题得证.