11.平面解析几何跨学科训练题——2026届高考数学一轮复习 习题+答案

这是一份11.平面解析几何跨学科训练题——2026届高考数学一轮复习 习题+答案，共10页。试卷主要包含了情景应用对于平面解析几何的影响等内容，欢迎下载使用。

情景应用通过联系实际、优化方法、培养素养等途径，显著提升了平面解析几何的教学效果与学习深度。
一、情景应用对于平面解析几何的影响：
1.‌提升问题解决能力：通过将几何问题置于真实情境中（如电动汽车参数、文物探索等），学生能更灵活地运用代数方法解决几何问题，从而提升分析和解决实际问题的能力‌
2.‌促进核心素养发展：情境化教学有助于培养学生的“直观想象”和“逻辑推理”素养。
3.‌优化解题策略：情境设计可以简化复杂问题的运算过程。
4.增强学习兴趣与理解：情境化教学通过贴近生活的案例（如校园平面图、身体测量等），激发学生对几何的兴趣，并帮助其从直观感知过渡到抽象思维‌。
结合情景分析平面解析几何
试题精研
1.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为( )
A.B.C.D.
2.人利用双耳可以判断声源在什么方位，听觉的这种特性叫作双耳定位效应(简称双耳效应).根据声波传到双耳的时间差，可以确定声源P一般在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上，若声源P所在的双曲线与它的一条渐近线趋近，则声源P对于测听者的方向偏角就近似地由该双曲线渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定.一般地，甲测听者的左、右两耳相距约为，声源P的声波传到甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源P对于甲的方向偏角的正弦值约为( )
3.北京冬奥会火种台(如图1)以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，其基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在直线旋转所成的曲面，尊高，上口直径为，底座直径为，最小直径为，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为( )
A.2B.C.D.
4.某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示.已知隧道高为6m，宽为8m，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线.若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为2m，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为( )
B.4mD.5m
5.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率( )
A.B.C.D.
6.如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为( )
C.1mD.2m
7.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该抛物线的焦点到准线的距离为____________.
8.祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）.现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为_____________.
9.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新lg(如图所示)，设计师的灵感来源于曲线.当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________.
①曲线C关于x轴和y轴对称
②曲线C所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为
④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长小于8
10.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米.隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆.
(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少?（结果精确到0.1米）
(2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l?（结果精确到0.1米）
以下结论可以直接使用：
①椭圆的面积公式.
②柱体的体积为底面积乘以高，，.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为a，e，则半焦距为，设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，依题意，，
整理得，即，而，解得，此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为.故选：C
2.答案：D
解析：设声源所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，则，，，所以，所以.故选D.
3.答案：B
解析：如图，设双曲线的标准方程为(，)，
由最小直径为，可知，设点，，，则，，所以，，所以，故.故选B.
4.答案：C
解析：以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线方程为.因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，所以车行驶时，x的取值范围为.当时，，要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米.故选：C
5.答案：D
解析：依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，而椭圆的短轴长，即，
所以椭圆的离心率故选：D
6.答案：D
解析：以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
设此抛物线方程为，依题意点在此抛物线上，所以，解得，
则该抛物线顶点到焦点的距离为.故选：D
7.答案：
解析：如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，依题意可得A的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为.
故答案为：.
8.答案：
解析：如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，由直线，其中，
联立方程组，解得，联立方程组，解得，所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为.故答案为：.
9.答案：①②③
解析：曲线，
对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线C关于x轴和y轴对称，正确；
对②：取，，取，，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故其面积小于，正确；
对③：设曲线上一点为，则，设，
M到原点的距离的平方为，，
，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确.
对④：对于曲线和椭圆，设点在上，
点在上，
，故，所以，
设点在上，点在上，
，所以，即，
故椭圆在曲线内(除四个交点外)，如图：
设直线交椭圆于A，B两点，交x轴于，M，N为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义可知：，，所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误；故答案为：①②③
10.答案：(1)
(2)拱高、拱宽
解析：(1)如图建立平面直角坐标系，
依题意可得点在椭圆上，
又，将点代入椭圆方程得，解得，
此时，
因此隧道设计的拱宽l约为米；
(2)设隧道上方半椭圆部分的面积为S，
由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得，
因为，即，当且仅当时取等号，
所以，
由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量，
当取得最小值时，有且，得，，
此时，，
即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小.
核心分析逻辑：分析情景→建立解析几何模型→给出答案
实际建模问题
常用于解决实际建模问题
几何与代数的结合
体现在“数形结合”的教学中