2026版高考总复习《优化设计》数学一轮复习配套PPT课件_课时规范练67　离散型随机变量及其分布列、数字特征_含解析

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1.(13分)(2024·广东东莞模拟)某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品,现有以下两种宣传方案:方案一:投放该平台广告,据市场调研,其收益X分别为0元,20万元,40万元,且P(X=20)=0.3,期望E(X)=30.方案二:投放传统广告,据市场调研,其收益Y分别为10万元,20万元,30万元,其概率依次为0.3,0.4,0.3.(1)请写出方案一的分布列,并求方差D(X);(2)请你根据所学的统计知识给出建议,该公司宣传应该投放哪种广告,并说明你的理由.
解 (1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b,依题意得a+b+0.3=1,①又E(X)=0×a+20×0.3+40b=30,②由①②解得a=0.1,b=0.6.∴X的分布列为
则D(X)=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180.
(2)由题得Y的分布列为
则E(Y)=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,D(Y)=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60.由E(X)>E(Y)可知采用平台广告投放期望收益较大,又D(X)>D(Y),说明平台广告投放的风险较高.综上所述,如果公司期望高收益,选择平台广告;如果公司期望收益稳定,选择传统广告.
2.(15分)(2024·山东济宁一模)袋中装有大小相同的4个红球,2个白球.某人进行摸球游戏,游戏规则如下:①每次从袋中摸取一个小球,若摸到红球则放回袋中,充分搅拌后再进行下一次摸取;②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束.(1)求摸球游戏结束时摸球次数不超过3的概率;(2)若摸出1次红球计1分,摸出1次白球记2分,求游戏结束时,此人总得分X的分布列和数学期望.
3.(15分)(2024·江西南昌一模)甲公司现有资金200万元,考虑一项投资计划,假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势,若投资期间经济形势好,投资有25%的收益率,若投资期间经济形势不好,投资有10%的损益率;如果不执行该投资计划,损失为1万元.现有两个方案,方案一:执行投资计划;方案二:聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势,聘请费用为5 000元,若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好,则执行投资计划;若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好,则不执行该计划.根据以往的资料表明,投资咨询公司乙预测不一定正确,投资期间经济形势好,咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8;投资期间经济形势不好,咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定,投资期间经济形势好的概率是40%,经济形势不好的概率是60%.
(1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率.(2)根据获得利润的期望值的大小,甲公司应该执行哪个方案?说明理由.
解 (1)记事件B1=“投资期间经济形势好”,事件B2=“投资期间经济形势不好”,事件A=“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”,则P(B1)=0.4,P(B2)=0.6,因此P(A)=P(B1A+B2A)=0.4×0.8+0.6×0.3=0.5.(2)若采取方案一,则该公司获得的利润值X万元的分布列是
E(X)=50×0.4-20×0.6=8;
4.(15分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装多少台发电机?
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元),①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,且E(Y)=5 000×1=5 000.②安装2台发电机.当40