2026版高考总复习《优化设计》数学一轮复习配套PPT课件_课时规范练8　函数的奇偶性、周期性_含解析

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3.已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2,则f(a)+f(b)=(　　)A.0B.1C.2D.3
解析 依题意得a-4+2a-2=0,解得a=2,由f(0)=b+2=0,得b=-2,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.故选A.
5.(2024·江苏镇江模拟)若函数f(x)=πx-π-x+2 023x,则不等式f(x+1)+f(2x-4) ≥0的解集为(　　)A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.(0,1]D.[-1,1]
解析 f(x)的定义域为R,因为f(-x)=π-x-πx-2 023x=-(πx-π-x+2 023x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以不等式f(x+1)+f(2x-4)≥0可化为f(x+1)≥f(4-2x),因为y=πx,y=-π-x,y=2 023x在R上均单调递增,所以f(x)在R上单调递增,所以x+1≥4-2x,解得x≥1,故选A.
6.(多选题)(2024·浙江丽水开学考试)设函数f(x)=ecs x,则下列选项正确的是(　 　)A.f(x)是偶函数B.f(x)是周期函数C.f(x)有最大值D.f(x)是增函数
解析 对于A,因为f(x)=ecs x的定义域为R,又f(-x)=ecs(-x)=ecs x=f(x),所以f(x)是偶函数,A选项正确.对于B,易知f(x+2π)=ecs(x+2π)=ecs x=f(x),所以2π是f(x)的一个周期,B选项正确.对于C,易知cs x≤1,所以f(x)≤e,所以f(x)有最大值,C选项正确.对于D,因为y=cs x在区间(0,π)内单调递减,y=ex在R上单调递增,所以f(x)在区间(0,π)内单调递减,D选项错误.故选ABC.
8.(2024·江西吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=lg2(x+1),则f(49)=　　　　.
解析 由题知,函数f(x)的周期为4,所以f(49)=f(4×12+1)=f(1)=lg2(1+1)=1.
解析 由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cs x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cs(-x)+1=x2+(2-a)x+cs x+1.∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cs x+1=x2+(2-a)x+cs x+1,解得a=2.
12.(多选题)定义在R上的函数f(x)满足:x为整数时,f(x)=2 024;x不为整数时, f(x)=0,则(　 　)A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.∀x∈R,f(f(x))=2 024D.f(x)的最小正周期为1
解析 对于A,f(1)=2 024,f(-1)=2 024,f(-x)=-f(x)不恒成立,则f(x)不是奇函数, A错误;对于B,若x为整数,则-x也是整数,则有f(x)=f(-x)=2 024,若x不为整数,则-x也不为整数,则有f(x)=f(-x)=0,综上可得f(x)=f(-x),f(x)是偶函数,B正确;对于C,若x为整数,f(x)=2 024,x不为整数时,f(x)=0,总之f(x)是整数,则f(f(x))=2 024,C正确;对于D,若x为整数,则x+1也为整数,若x不为整数,则x+1也不为整数,总之有f(x+1)=f(x),f(x)的周期为1,若t(0