黑龙江省绥化市2025-2026学年高二下学期入学检测数学试卷含解析（word版）

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依题意, 该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列, 且该组样本共 10 个数据， ，
算得小数, 向下取整, 因此取第 8 个数作为 75% 分位数, 即 75% 分位数为 35 .
故选: D.
2. B
由题设,得 ,
又 ,其中2,3,337都为质数,
所以 ,
因为 ,所以 可能为 ,
所以 的取值个数为 ,
方程 的整数解 的个数为 54 .
故选: B.
3. D
设 1 包糖果的质量为 ,则 ,
所以 ,
又 ,
所以 .
故选: D
4. B
由已知 ,
则 ,
解得 或 ,
当 时， ， ， 与 重合，不成立；
当 时， ， ， ，成立；
综上所述 ,
故选: B.
5. A
解: 由题设, ,
当 时, .
含 项的二项式系数 .
故选: A.
6. B
用 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果,
因为甲、乙两人每次投掷均有 6 种结果,则在一轮游戏中,其包含 个等可能的基本事件.
其中,甲得 3 分,即 包含的基本事件有
,共 15 个,概率为 .
同理可得,甲每轮得 0 分的概率也是 ,得 1 分的概率为 .
所以每一轮甲得分低于 3 分的概率为 .
设事件 表示甲至少有一轮比赛得 3 分,事件 表示乙至少有一轮比赛得 3 分,则事件 表示经过三轮比赛, 甲没有比赛得分为 3 分.
则 .
事件 可分三类情形:
①甲有两轮得 3 分，一轮得 0 分，概率为 ;
②甲有一轮得 3 分，两轮得 0 分，概率为 ;
③甲有一轮得 3 分，一轮得 0 分，一轮得 1 分，概率为 .
所以 ,
所以 .
故选: B.
7. C
由 ,知 必须同奇或同偶,
若 都为奇数,则有 种选法;
若 都为偶数,则有 种选法;
由分类加法计数原理知,满足题意的数对共有 种.
故选: C.
8. D
由题可知 ,解得 或 7 .
故选: D.
9. ACD
解: 根据题意可得 ,解得 ,所以
选项正确;
因为 的频率为 0.3,所以工作人员所选取的 100 人中在 的人数为 30 人，所以 B 选项错误;
因为 的两组的频率之比为 ,
所以工作人员采用按分层抽样的方法从评分在 的两组中共抽取 6 人，则在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人，所以 C 选项正确；
因为在 中抽取 2 人，在 中抽取 4 人，
所以再抽从这 6 人中抽 2 人，则选取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率为 ,所以 D 选项正确.
10. BCD
对于 ,若 互斥,则 , 错误;
对于 ,若 互斥,则 正确;
对于 ,若 独立,则 正确;
对于 ,若 独立,则 , D 正确, 故选: BCD
11. ABD
由双曲线 的方程可知: ,且焦点在 轴上,
则 ,双曲线的渐近线方程为 ,故 B 正确;
对于选项 A:由双曲线的定义可得 ，故 A 正确；
对于选项 C:当过 的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点；
当过 的直线与渐近线平行时,也有两条直线与双曲线只有一个公共点,
所以过 点且与双曲线只有一个公共点的直线有 4 条,故 错误;
对于选项 D:由选项 A 可得: ，
因为 在双曲线的渐近线 上方,
则 ,
当且仅当 三点共线时,取得等号,故 正确.

故选: ABD.
12.
因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 又 ,所以 .
故答案为:
13.
依题意, 抽取第二本书有 5 个不同结果, 第二本抽取的是数学书有 2 个结果, 所以所求概率为 .
故答案为:
14.
解: 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次共有 种情况,
若点数之差的最大值为 4 ，则最大点数为 5 ，最小点数为 1 ，
或者最大点数为 6 , 最小值为 2 , 当最大点数为 5 、最小点数为 1 时,
若另一个点数为 1 , 则有 3 种情况, 若另一个点数为 5 , 则有 3 种情况,
若另一个点数为 2,3,4,则有 种情况,
最大点数为 5 、最小点为数为 1 时,共有 种.
当最大数为 6 , 最小点数为 2 时,若另一个点数为 2 , 则有 3 种情况,
若另一个点数为 6,则有 3 种情况,若另一个点数为3,4,5,则有 种情况,
最大点数为 6 、最小点数为 2 时,共有 种,
综上,点数之差的最大值为 4 的概率为: .
15.(1)列联表如下.
单位:人
(2)零假设为 : 平衡力的好坏与心脏病风险没有关联.
根据列联表中的数据,经计算得到 . 根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联.
16. (1) 若直线 的斜率不存在,则 ,
则 ,所以 ;
若直线 的斜率存在,设 ,
,消去 ,得 ,
,又 ,
所以 .
综上, 为定值 -12 .
(2)易知直线 的斜率存在，由(1)知 ，
所以 ,得 ,
由 ,得 ,
所以 .

17. (1) ; 63 千元
(2)
(1) 根据表中的数列,计算可得 ,
所以 ,故 ,
所以 关于 的线性回归方程为 ,
当 时, (千元),
所以该果农 2024 年的年利润预测值为 63 千元.
(2)由(1)可知 2019 年至 2023 年的年利润的估计值分别为 38, 43, 48, 53, 58(单位: 千元)，
其中实际利润大于相应的估计值的有 2 年,
故这 5 年中甲级利润年的有 2 年, 乙级利润年的有 3 年,
所以从 2019 年至 2023 年这 5 年中随机抽取 3 年，恰有 1 年为甲级利润年的概率为
18. (1)从 地区选出的 20 天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为 ,
估计 地区当年(365 天)的空气质量状况“优良”的概率为 0.75 .
(2)由题意， ，
,
所以 的分布列为
.
(3)由图知，在抽取的 20 天中，两地空气质量等级均为“优良”的有 13 天，
至少有一天两地空气质量等级均为 “优良”的对立事件是 3 天没有任何一天两地空气质量等级均为“优良”，
所以从抽取的 20 天中随机抽取 3 天, 至少有一天两地空气质量等级均为 “优良” 的概率
所以至少有一天两地空气质量等级均为 “优良” 的概率为 .
19.( 1 )由题意， 到 的距离与 到直线 的距离相等，
所以准线 ,即 ,解得 ,
所以抛物线 的方程为 .
(2)证明:联立 ，可得 ， ，
设 ,则 ,
以 为直径的圆的方程为 ,
且 ,
则 ,
代入圆方程得 ,该圆方程过原点,坐标为 .
(3)证明:由对称性不妨设 在第一象限，则有 ， .

则 ,所以 ,即 ,
延长 交 轴于点 ,连接 ,
由 ,可知 ,
又因为 ,则可得 ,
所以 四点共圆,且 为直径,所以 ,
直线 的方程为 ,令 ,则 .
由 ,得 ,即 ,
且 ,化简可得 ,且 ,
即可得 ,解得 ,故 , 则 ， ，
所以 ,又 ,
所以 .
平衡力
心脏病
合计
未患心脏病
患心脏病
平衡力好
900
100
1000
平衡力差
850
150
1000
合计
1750
250
2000
0
1
2
3
1 64
9 64
27 64
27 64