黑龙江省鸡西实验中学2025-2026学年高二（下）开学数学试卷

这是一份黑龙江省鸡西实验中学2025-2026学年高二（下）开学数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知某数列为−2,34,−49,516,−625,⋯，按照这个规律，则该数列的第10项是( )
A. −1081B. 1081C. −11100D. 11100
2.已知F1，F2分别是椭圆E：x29+y25=1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若|PF1|=2，则|PF2|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a=(1,3,5)，b=(x,y,2)，若l1//l2，则( )
A. x=15，y=35B. x=3，y=15C. x=25，y=65D. x=32，y=152
4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，A1B1的中点，则异面直线EF与AD1所成角的余弦值为( )
A. 36B. 33C. 22D. 63
5.已知两点A(1,−2)，B(2,1)，直线l过点P(0,−1)且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A. [π4,3π4]B. [0,π4]∪[π2,3π4]C. [0,π4]∪[3π4,π)D. [π4,π2)∪(π2,3π4]
6.已知数列{an}满足a1=1，且an+1=annan+1，则a10=( )
A. 145B. 146C. 155D. 156
7.如图，记三棱锥P−ABC的体积为V,23≤V≤2,BA=BC=2,∠ABC=90°,D为AC的中点，且PD⊥平面ABC，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为( )
A. [234π,9π]
B. [376π,10π]
C. [8π,1219π]
D. [12π,1357π]
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，如果C上存在一点Q，使∠F1QF2=120°，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A. (0,12]B. [12,1)C. (0, 32]D. [ 32,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆C：x2m+y2m2−1=1的一个焦点坐标为(0,1)，则( )
A. m=2B. C的长轴长为 3
C. C的短轴长为2 2D. C的离心率为13
10.在正三棱柱A1B1C1−ABC中，AA1= 3AB，则( )
A. 直线AA1与CB1所成的角为30°
B. 直线AC1与CB1所成的角为60°
C. AC1与平面ABC所成角的正弦值为 32
D. AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为 34
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若Sn=2n2−3，则{an}是等差数列
B. 若{an}是等差数列，且a3=5，a2+a10=2，则数列{an}的前n项和Sn有最大值
C. 若等差数列{an}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2
D. 若{an}是等差数列，则三点(10,S1010)、(20,S2020)、(30,S3030)共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正项等比数列{an}中，a4=1，a5a11=81，则a6= ．
13.方程x2m−2+y26−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ．
14.如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知三角形ABC的顶点坐标为A(−1,5)、B(−2,−1)、C(4,3)，M是BC边上的中点．
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长；
(3)求AB边的高所在直线方程．
16.(本小题15分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，建立空间直角坐标系，如图所示．
(1)写出正方体ABCD−A1B1C1D1各顶点的坐标；
(2)写出向量EF，B1F，A1E的坐标；
(3)求向量A1C在向量AC上的投影向量的坐标．
17.(本小题15分)
已知数列{an}中，a1=1，an+1an=2n，n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=lg2an2+3n，求数列{1bn}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC，AC=AA1，点D为棱AC的中点，平面ABC⊥平面AA1C1C，且∠A1AC=60°．
(1)求证：A1D⊥平面ABC；
(2)若AB⊥BC，求二面角D−B1C−B的正弦值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 63，上顶点B的坐标为(0,1)．
(1)求C的方程；
(2)已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点S满足NS=3NM，当点M在C上运动时，求点S的轨迹方程；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，数列−2,34,−49,516,−625,⋯，
可化为−1+11,2+14,−3+19,4+116,−5+125,⋯，
所以数列的一个通项公式为an=(−1)nn+1n2，所以该数列的第10项是a10=11100．
故选：D．
根据题意，归纳数列的通项公式，将n=10代入可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：椭圆E：x29+y25=1，可知a=3，
因为P是椭圆E上一点，所以|PF1|+|PF2|=2a=6，所以|PF2|=6−|PF1|=4．
故选：D．
求出长半轴的长，利用椭圆的定义，转化求解即可．
本题考查椭圆的基本概念，考查数学抽象的核心素养，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵l1/​/l2，∴存在实数k使得b=ka，
∴x=ky=3k2=5k，解得x=25，y=65．
故选：C．
由l1//l2，可得存在实数使得b=ka，可求x，y的值．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设ABCD的中心为O，CDD1C1的中心为G，连接OB1，OG，
易证OB1//EF，OG//AD1，
∴∠B1OG或其补角为异面直线EF与AD1所成的角，
设正方体的棱长为2，
则在△B1OG中，OB1=B1G= 6，OG= 2，
∴cs∠B1OG=6+2−62 2× 6= 36．
∴异面直线EF与AD1所成角的余弦值为 36．
故选：A．
设ABCD的中心为O，CDD1C1的中心为G，连接OB1，OG，可得∠B1OG或其补角为异面直线EF与AD1所成的角，求解即可．
本题考查异面直线所成角的计算，属基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系，属于一般题．
直线l与线段AB有公共点且过点P(0,−1)，直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，利用斜率计算公式即可得出．
【解答】
解：∵直线l与线段AB有公共点且过点P(0,−1)
∴直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间
∵kPB=1+12=1，kPA=−2+11=−1
∴直线l的斜率k的取值范围是[−1,1]
∴直线l的倾斜角的取值范围为[0,π4]∪[3π4,π)，
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：∵an+1=annan+1，则1an+1=nan+1an=1an+n，
∴1a2−1a1=1，1a3−1a2=2，…，1a10−1a9=9，
以上各式相加可得，1a10−1a1=1+2+3+⋯+9=45，
∴a10=146．
故选：B．
根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为BA=BC=2，∠ABC=90°，所以S△ABC=12×BA×BC=2，
由于三棱锥P−ABC的体积为V,23≤V≤2，PD⊥平面ABC，
所以V=13×S△ABC×PD=23PD∈[23,2]，所以1≤PD≤3．
因为等腰直角△ABC中，D为AC的中点，
所以BD=AD=CD=12AC=12× 22+22= 2，
因为PD⊥AC，所以三棱锥外接球的球心在直线PD上，
设外接球半径为R，
则R2=( 2)2+(PD−R)2，
化简得PD2−2PD⋅R+2=0，
即R=PD2+22PD=12PD+1PD≥ 2，
当且仅当PD= 2时等号成立．
因为1≤PD≤3，当PD=1时，R=12+1=32；
当PD=3时，R=32+13=116；
所以 2≤R≤116，
此时该外接球的表面积为8π≤S=4πR2≤1219π．
故选：C．
根据三棱锥体积的范围先确定PD的范围，然后确定三棱锥外接球的球心大概位置，然后根据勾股定理和基本不等式的性质求出外接球半径的范围，最后根据球的表面积公式求出结果即可．
本题考查几何体表面积的计算，以及基本不等式的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求椭圆的离心率(或取值范围)，属于基础题．
因为当Q为椭圆上下顶点时，∠F1QF2最大，不妨让Q是椭圆上定点，则∠F1QF2≥120°，则∠F1QO≥60°，即可求得离心率取值范围．
【解答】
解：当Q为椭圆上下顶点时∠F1QF2最大，
所以120°≤∠F1QF20)，得到a=12，设点A(20,t)，B(13,t−63)，代入双曲线的方程，求得b=36，求得渐近线方程，即可求解．
本题考查双曲线方程的求法与应用，渐近线方程的性质，是基础题．
15.【答案】解：(1)由题意可得直线AB的斜率k=−1−5−2−(−1)=6，
故直线的方程为：y−5=6(x+1)，
化为一般式可得：6x−y+11=0．
(2)由中点坐标公式可得BC的中点M(1,1)，
故AM= (−1−1)2+(5−1)2=2 5．
(3)由(1)可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为−16，
故方程为y−3=−16(x−4)，
化为一般式可得x+6y−22=0．
【解析】本题考查直线的一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题．
(1)由题意可得直线AB的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得；
(2)由中点坐标公式可得BC的中点M(1,1)，代入距离公式可得；
(3)由(1)可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为−16，可得点斜式方程，化为一般式可得．
16.【答案】A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2) EF=(−2,−1,−1)，B1F=(−2,−1,−2)，A1E=(0,2,−1) (−2,2,0)
【解析】解：(1)因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
所以A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)；
(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以E(2,2,1)，F(0,1,0)，
所以EF=(−2,−1,−1)，B1F=(−2,−1,−2)，A1E=(0,2,−1)；
(3)因为A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，
所以A1C=(−2,2,−2)，AC=(−2,2,0)，
所以A1C在向量AC上的投影向量为A1C⋅AC|AC|⋅AC|AC|=4+4+0(−2)2+22⋅AC=AC=(−2,2,0)．
(1)直接利用空间直角坐标系求出结果；
(2)利用向量的坐标运算的应用求出结果；
(3)根据投影向量的定义与空间向量坐标运算求解即可．
本题主要考查了空间直角坐标系中点的坐标，考查了投影向量的定义，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为a1=1，an+1an=2n，
所以an=anan−1⋅an−1an−2……a2a1⋅a1=2n−1⋅2n−2……21⋅1=21+2+……+(n−1)=2n(n−1)2(n≥2)，
当n=1时，a1=1满足上式，
所以an=2n(n−1)2；
(2)因为bn=lg2an2+3n=n(n−1)+3n=n(n+2)，
所以1bn=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，
所以Sn=12(1−13+12−14+……+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．
【解析】(1)利用累乘法即可得解；
(2)利用裂项相消法即可得解．
本题考查数列的递推式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：∵AC=AA1，∠A1AC=60°，
∴△AA1C为正三角形，
又D为AC中点，∴A1D⊥AC，
又平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
A1D⊂平面AA1C1C，
∴A1D⊥平面ABC；
(2)由AB=BC，AB⊥BC，D为AC中点，可得DB⊥DC，又A1D⊥平面ABC，
故以D为坐标原点，以DB，DC，DA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AC=2，由题意知：D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(0,−1,0)，
A1=(0,0, 3)，由A1B1=AB=(1,1,0)，可得B1(1,1, 3)，
则DB1=(1,1, 3)，DC=(0,1,0)，设平面DB1C的法向量为m=(x,y,z)，
则由m⊥DB1，m⊥DC可得x+y+ 3z=0y=0，
取z=1，可得平面DB1C的一个法向量m=(− 3,0,1)，
又BB1=(0,1, 3)，BC=(−1,1,0)，设平面BB1C的法向量为n=(a,b,c)，
则由n⊥BB1，n⊥BC可得b+ 3c=0−a+b=0，
取c=1，可得平面BB1C的一个法向量n=(− 3,− 3,1)，
设二面角D−B1C−B的平面角为θ，
则|csθ|=|cs|=|3+12× 7|=2 7，
所以二面角D−B1C−B的正弦值sinθ= 1−cs2θ= 1−47= 217．
【解析】(1)根据面面垂直的性质，只需证A1D⊥AC即可；
(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入夹角公式可求得二面角的余弦，进而求出正弦值．
本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角的求法，属中档题．
19.【答案】x23+y2=1 x23+y29=1
【解析】解：(1)设椭圆C的半焦距为c，
因为椭圆的离心率为 63，上顶点B的坐标为(0,1)，
所以e=ca= 63，b=1，
又a2=b2+c2，
解得a2=3，b2=1，
则椭圆C的方程为x23+y2=1；
(2)设S(x,y)，M(x0,y0)，
易知N(x0,0)，
此时NS=(x−x0,y), NM=(0, y0)，
因为NS=3NM，
所以x−x0=0y=3y0，
解得x0=xy0=y3，
因为M(x0,y0)在椭圆C上，
所以x023+y02=1，
可得x23+(y3)2=1，
整理得x23+y29=1．
则点S的轨迹方程为x23+y29=1．
(1)根据题意可得e=ca= 63，且b=1，结合a2=b2+c2运算求解，即可得椭圆方程；
(2)设S(x,y)，M(x0,y0)，根据NS=3NM可得x0=xy0=y3，代入椭圆方程即可得轨迹方程．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．