第2章二次函数（A卷）2025-2026学年北师大版九年级下学期数学北京地区名校期末试题汇编

这是一份第2章二次函数（A卷）2025-2026学年北师大版九年级下学期数学北京地区名校期末试题汇编，共25页。
1．（2022•门头沟区期末）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3D．y＝x2﹣3
2．（2022•大兴区校级期末）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
3．（2022•平谷区期末）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
4．（2022•东城区期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
5．（2022•东城区期末）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．最大值4B．最小值4C．最大值6D．最小值6
6．（2022•石景山区期末）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜1D．m≤1
7．（2022•西城区期末）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
8．（2022•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
9．（2022•西城区期末）如表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1，
根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022•丰台区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣5，x2＝3D．x1＝﹣7，x2＝3
二．填空题（共9小题）
11．（2022•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
12．（2022•大兴区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
13．（2022•东城区期末）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
14．（2022•丰台区期末）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小明进行了两次掷实心球训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 m；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为d1，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
15．（2022•石景山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下面四个结论中，
①a＜0
②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
③点B的坐标为（3，0）
④若点M（﹣1，y1），N（5，y2）在函数的图象上，则y1＞y2
所有正确结论的序号是 ．
16．（2022•西城区期末）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当x＞1时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式： ．
17．（2022•朝阳区期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 .（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
18．（2022•西城区期末）点M（3，m）是抛物线y＝x2﹣x上一点，则m的值是 ，点M关于原点对称的点的坐标是 ．
19．（2022•石景山区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，n）和点B（3，n），则该二次函数的对称轴是 ．
三．解答题（共7小题）
20．（2022•石景山区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的部分图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，当﹣2＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
21．（2022•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝x2+bx上．
（1）当m＝0时，
①求抛物线的对称轴；
②若点（﹣1，y1），（t，y2）在抛物线上，且y2＞y1，直接写出t的取值范围；
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
22．（2022•门头沟区期末）某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高1.6m的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
23．（2022•平谷区期末）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．现测量出x与y的几组数据如下：
请解决以下问题：
（1）求出满足条件的函数关系式；
（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（m≠0），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
24．（2022•东城区期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
25．（2022•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m），（4，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上．
（1）当a＝1时，求m，n的值；
（2）点（x0，t）在此抛物线上，若存在0≤x0≤1，使得m＜t＜n，求a的取值范围．
26．（2022•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围．
第二章 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•门头沟区期末）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3D．y＝x2﹣3
【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位得到的抛物线表达式是y＝x2+3．
故选：C．
2．（2022•大兴区校级期末）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
故选：B．
3．（2022•平谷区期末）如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系B．反比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
【解答】解：I是v的二次函数，
根据题意得＝2，即I＝2v2，
∴I是v的二次函数．
故选：D．
4．（2022•东城区期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【解答】解：由题意得，
4y+2πx＝20，
∴2y+πx＝10，
∴y＝，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝y2﹣πx2，
即满足二次函数关系，
故选：B．
5．（2022•东城区期末）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．最大值4B．最小值4C．最大值6D．最小值6
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
6．（2022•石景山区期末）若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＜1D．m≤1
【解答】解：∵若二次函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m≥0，
∴m≥﹣1．
故选：B．
7．（2022•西城区期末）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【解答】解：∵y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），
∴将抛物线y＝﹣2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3．
故选：D．
8．（2022•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
【解答】解：当m＞0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＞d﹣c；
当m＜0时，如图所示：
∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＜d﹣c．
故选：A．
9．（2022•西城区期末）如表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1，
根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点（﹣5，m）和（3，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a．
根据表中信息，抛物线经过点（1，0），
∴a+b+2＝0，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x+2．
∵y＝﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，），抛物线的开口方向向下，抛物线经过（0，2），（﹣2，2）．
∵当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，
∴2≤k＜．
故选：C．
10．（2022•丰台区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣4的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣5，x2＝3D．x1＝﹣7，x2＝3
【解答】解：∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，
根据抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣4＝0的两个实数根是：x1＝3，x2＝﹣1，
故选：A．
二．填空题（共9小题）
11．（2022•东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为 （0，5） ．
【解答】解：令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5）．
故答案为：（0，5）．
12．（2022•大兴区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 x1＝﹣4，x2＝0 ．
【解答】解：∵根据图象可得：抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0），
∴x1＝﹣4，
∵对称轴为x＝﹣2，
∴x2＝2×（﹣2）﹣x1＝﹣4﹣（﹣4）＝0，
∴方程的解为x1＝﹣4，x2＝0，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝0．
13．（2022•东城区期末）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝x2+x ．
【解答】解：把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1﹣3，即y＝x2+x．
故答案为：y＝x2+x．
14．（2022•丰台区期末）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
小明进行了两次掷实心球训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是 3.6 m；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为d1，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为d2，则d1 ＜ d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，3.6），
∴实心球竖直高度的最大值是3.6m，
故答案为：3.6；
（2）把（0，2.0）代入y＝a（x﹣4）2+3.6得：16a+3.6＝2.0，
解得a＝﹣0.1，
∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
当y＝0时，x＝10（负值舍去），
∴d1＝10m；
在y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6中，令y＝0得：
﹣0.09（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x＝2+4（负值舍去），
∴d2＝（2+4）m，
∵10＜2+4，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
15．（2022•石景山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下面四个结论中，
①a＜0
②当x＞﹣2时，y随x的增大而增大
③点B的坐标为（3，0）
④若点M（﹣1，y1），N（5，y2）在函数的图象上，则y1＞y2
所有正确结论的序号是 ①④ ．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
故①正确；
∵抛物线对称轴是直线x＝1，
∴当﹣2＜x＜1时，y随x的增大而增大，
故②错误；
∵A（﹣2，0），对称轴是直线x＝1，
∴B（4，0），
故③错误；
∵1﹣（﹣1）＝2＜5﹣1＝4，
∴y1＞y2，
故④正确．
故答案为：①④．
16．（2022•西城区期末）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当x＞1时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式： 答案不唯一，如：y＝x2﹣2x ．
【解答】解：∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线方程中的二次项系数a＞0，对称轴是直线x＝1．
∵图象过原点，
∴抛物线方程中的常数项c＝0符合题意．
∴答案不唯一，如：y＝x2﹣2x．
故答案为：答案不唯一，如：y＝x2﹣2x．
17．（2022•朝阳区期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 二次函数关系 .（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【解答】解：由题意得，
y＝（20+x）（30+x）﹣20×30
＝x2+50x，
所以y与x是二次函数关系．
故答案为：二次函数关系．
18．（2022•西城区期末）点M（3，m）是抛物线y＝x2﹣x上一点，则m的值是 6 ，点M关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，﹣6） ．
【解答】解：∵点M（3，m）是抛物线y＝x2﹣x上一点，
∴m＝32﹣3＝6，
∴M（3，6），
∴点M关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，﹣6）．
故答案为：6，（﹣3，﹣6）．
19．（2022•石景山区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，n）和点B（3，n），则该二次函数的对称轴是 直线x＝1 ．
【解答】解：∵抛物线经过A（﹣1，n）和点B（3，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，
故答案为：直线x＝1．
三．解答题（共7小题）
20．（2022•石景山区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的部分图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，当﹣2＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，﹣3），
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由图象可知，抛物线得对称轴为x＝﹣1，
∴当﹣2＜x＜﹣1时，y随着x的增大而减小，当﹣1＜x＜1时，y随着x的增大而增大，
当x＝﹣2时，y＝4﹣4﹣3＝﹣3，
当x＝﹣1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，
当x＝1时，y＝1+2﹣3＝0，
∴﹣4≤y＜0．
21．（2022•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝x2+bx上．
（1）当m＝0时，
①求抛物线的对称轴；
②若点（﹣1，y1），（t，y2）在抛物线上，且y2＞y1，直接写出t的取值范围；
（2）若mn＜0，求b的取值范围．
【解答】解：（1）①∵m＝0，
∴把（1，0）代入y＝x2+bx，得b＝﹣1，
∴y＝x2﹣x，
∴抛物线的对称轴为直线：x＝；
②∵（﹣1，y1）在y＝x2﹣x上，
∴y1＝2，
∴（﹣1，2），
∴它的对称点为（2，2），
∵y2＞y1，
∴t＜﹣1或t＞2；
（2）把点（1，m）和点（3，n）代入y＝x2+bx，得
m＝1+b，n＝9+3b，
当mn＜0，有两种情况，
①，得，
解不等式①，得b＞﹣1，
解不等式②，得b＜﹣3，
∴此不等式组无解；
②，则，
解不等式①，得b＜﹣1，
解不等式②，得b＞﹣3，
∴此不等式组的解集为﹣3＜b＜﹣1，
综上所述b的取值范围是：﹣3＜b＜﹣1．
22．（2022•门头沟区期末）某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为x（单位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
请根据测得的数据，解决以下问题：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 3.2 m；
（3）求所画图象对应的二次函数表达式；
（4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高1.6m的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 1或9 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）
【解答】解：（1）描出各组对应数据为坐标的点，画出该函数的图象如下：
（2）由图象可得，水柱最高点距离地面的垂直高度为3.2m，
故答案为：3.2；
（3）设二次函数表达式为y＝ax2+bx+c，将（0，0.7），（1，1.6），（2，2.3）代入得：
，
解得，
∴二次函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+0.7；
（4）在y＝﹣0.1x2+x+0.7中，令y＝1.6得：
﹣0.7x2+x+0.7＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴石柱距喷水枪的水平距离为1m或9m，
故答案为：1或9．
23．（2022•平谷区期末）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．现测量出x与y的几组数据如下：
请解决以下问题：
（1）求出满足条件的函数关系式；
（2）身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（m≠0），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
【解答】解：（1）由表中数据可知，h＝3，k＝4，
∴y与x的函数关系y＝a（x﹣3）2+4，
把（1，3）代入解析式得：3＝a（1﹣3）2+4，
解得a＝﹣，
∴y与x的函数关系y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
∵抛物线对称轴为直线x＝3，
∴和（0，1.75）对称的点为（5，1.75），
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+4＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝7，
∴小明被水枪淋到m的取值范围为5≤m≤7．
24．（2022•东城区期末）掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97．记实心球第一次着地点到原点的距离为d1，第二次着地点到原点的距离为d2，则d1 ＞ d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，2.95），
∴h＝4，k＝2.95，
即实心球竖直高度的最大值为2.95，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝1.67，
代入y＝a（x﹣4）2+2.95得：1.67＝a（0﹣4）2+2.95，
解得：a＝﹣0.08，
∴函数关系式为：y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95；
（2）第一次投掷，y＝﹣0.08（x﹣4）2+2.95，
当y＝0时，﹣0.08（x﹣4）2+2.95＝0，
解得：x＝4±，
∵x＞0，
∴x＝4+，
第二次投掷，y＝﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97，
当y＝0时，﹣0.09（x﹣3.8）2+2.97＝0，
解得：x＝3.8，
∵x＞0，
∴x＝3.8+，
∴d1＝4+＞4+＝4+＝10，d2＝3.8+＜3.8+＝3.8+6＝9.8，
∴d1＞d2，
故答案为：＞．
25．（2022•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m），（4，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上．
（1）当a＝1时，求m，n的值；
（2）点（x0，t）在此抛物线上，若存在0≤x0≤1，使得m＜t＜n，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，函数表达式为y＝x2﹣2x，
∵点（2，m），（4，n）在抛物线y＝x2﹣2x上．
∴m＝0，n＝8；
（2）∵点（2，m），（4，n）在抛物线y＝ax2﹣2x（a＞0）上，
∴m＝4a﹣4，n＝16a﹣8，
∵m＜n，
∴4a﹣4＜16a﹣8，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∵a＞0，
∴．
当时，
当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝a﹣2．
∵0≤x0≤1，y随x的增大而减小，
∴a﹣2＜0．
∵m＜t＜n，
∴4a﹣4＜0且16a﹣8＞a﹣2．
∴．
当时，总有t≤m＜n，不符合题意．
综上，a的取值范围是．
26．（2022•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交点为D（0，3），
∴c＝3，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
将A（﹣3，0）代入y1＝ax2﹣2x+3，
∴9a+6+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意A（﹣3，0），B（1，0），
当∠AMB＝90°时，M（﹣1，﹣2）．
当∠ABM＝90°时，M（1，﹣4）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，4）；
（3）∵点E的横坐标xE，
∴E（xE，0），
由题可知，F（xE，﹣4），G（xE+4，﹣4），H（xE+4，0），
当F点在抛物线上时，﹣xE2﹣2xE+3＝﹣4，
解得xE＝﹣1+2或xE＝﹣1﹣2，
当G点在抛物线上时，﹣（xE+4）2﹣2（xE+4）+3＝﹣4，
解得xE＝﹣5+2或xE＝﹣5﹣2，
∴﹣5﹣2≤xE≤﹣1+2时，四边形EFGH与抛物线有公共点．题号
一
二
三
总分
得分
x
…
﹣5
x1
x2
1
3
…
y
…
m
0
2
0
m
…
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度 y/m
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…
x（米）
0
1
2
3
4
……
y（米）
1.75
3.0
3.75
4.0
3.75
……
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07
x
…
﹣5
x1
x2
1
3
…
y
…
m
0
2
0
m
…
水平距离 x/m
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度 y/m
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
3.2
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…
x（米）
0
1
2
3
4
……
y（米）
1.75
3.0
3.75
4.0
3.75
……
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07