第二章二次函数单元练习 北师大版数学九年级下册期末复习

这是一份第二章二次函数单元练习 北师大版数学九年级下册期末复习，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若抛物线经过点，则a等于（ ）
A．3B．C．D．
2．已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个不等的正实数根D．有两个异号实数根
3．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞﹣1C．﹣3＜x＜1D．﹣4≤x≤1
4．将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ）
A．B．C．D．
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴是过（1，0）且平行于轴的直线；③顶点坐标为；④≤-2时，y随x的增大而增大，其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．二次函数的顶点是( )．
A．B．C．D．
7．已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．抛物线经过点
C．抛物线开口向上
D．抛物线的顶点坐标为
8．若关于x的二次函数，当时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（ ）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
10．二次函数（，为常数）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
12．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）
A．5元B．10元C．0元D．36元
二、填空题
13．用木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料，其中，要使窗框的面积最大，则的长为 m．
14．若是关于x的二次函数，则m的值是 ．
15．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ．
16．如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 ．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
则该二次函数图象的对称轴为直线 ．
三、解答题
18．定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，
[概念理解]
（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
[性质探讨]；
（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点与的面积相等．求证：．
[探究应用]；
（3）①如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点．求证：；
②如图3，已知直线与抛物线交于两点，点在轴负半轴上，满足，点在第一象限且位于抛物线上，若四边形是和谐四边形，求点的横坐标．
19．已知一个二次函数的图象经过三点，求这个二次函数的表达式．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
22．阅读以下材料：
例：解不等式
解：设y1=x，，在同一直角坐标系中画出它们的图象：
两个图象的交点为（1，1）和（﹣1，﹣1）
∴由图可知，当﹣1＜x＜0或x＞1时，
根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：．
23．已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．

(1)填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 ；
(2)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象．
(3)当 1 < x 4时， y的取值范围是
24．已知二次函数的图象以直线x=2为对称轴，且经过A(6,－4)和B(3,11)两点，求此二次函数的解析式.
《第二章二次函数》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数性质求解．
把点代入解析即可求解．
【详解】解：由题意得将代入得：，
故选：B．
2．C
【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为-3，判断方程的根的情况即是判断y=-2时x的值．
【详解】∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是−3，
∵方程，
∴时，即是y=−2求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根，
故答案为C.
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于结合图象判断实数根个数.
3．C
【分析】先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到y＜0时，函数图像在轴的下方，从而可得答案．
【详解】解：由抛物线的对称轴为： 且过
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为：
当y＜0时，函数图像在轴的下方，
所以：＜＜
故选：
【点睛】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k＞0和k＜0，函数y=kx2与y=kx+k的图象，从而可以解答本题．
【详解】当k＞0时，
函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，
当k＜0时，
函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．C
【分析】根据二次函数图象的性质逐个判定即可.
【详解】①则抛物线的开口向下，正确
②抛物线的对称轴为，所以对称轴是过且平行于y轴的直线，错误
③因为顶点在对称轴上，所以顶点的横坐标为，代入函数解析式得纵坐标为3，即顶点坐标为，正确
④当时，y随x的增大而增大，因此时，y随x的增大而增大，正确
综上，正确的有3个
故答案为：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟记二次函数图象的性质是解题关键.
6．A
【分析】本题考查了二次函数的性质．因为是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴二次函数图象的顶点坐标是．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数的图象与性质，解题关键是求出对称轴．
先将点代入抛物线解析式中，求得与的关系式，求出对称轴，可判断A；
利用对称性可求出点的对称点，从而可判断B；利用对称性可求出点的对称点，根据当，时，恒成立，分两种情况画出草图，可判断C；根据上述解析，得出当时，，求出的值，可判断D．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴抛物线的对称轴为，
故A正确；
点关于对称轴的对称点为，故B正确；
∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且，
∴点关于对称轴的对称点为，且，
当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上，
当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在，
则抛物线开口向上，故C正确；
∵当时，，当时，，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，故D错误，
故选：D．
8．B
【分析】先解分式方程求出，关于x的分式方程有正数解满足2﹣＞0利用二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求出对称轴x＝﹣≥﹣2，求出的范围﹣4≤＜2，且≠1即可．
【详解】解：∵
∴1+1﹣x＝2（2﹣x）
∴（2﹣）x＝2
∴
关于x的分式方程有正数解
∴＞0
∴2﹣＞0
∴＜2
但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当＝1时不符合题意，舍去．
∵二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小
∴其对称轴x＝﹣≥﹣2
∴≥﹣4
∴﹣4≤＜2，且≠1
符合条件的整数的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个
故选B．
【点睛】本题考查分式方程的解法，抛物线的增减性，不等式的解法，掌握分式方程的解法，抛物线的性质，会求抛物线的对称轴，会利用分式方程的解为正数构造不等式，结合函数的增减性解决问题．
9．D
【分析】根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y =a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.
【详解】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.当x＝﹣2时，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；
B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；
C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正确，不符合题意；
D.若﹣≤x≤0时2≤y≤3；
在﹣≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用求根公式和函数图象的增减性是解题的关键．
10．B
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个根的范围．
【详解】解：由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，
故x应取对应的范围为：3.18＜x＜3.19，
故选：B．
【点睛】此题考查图象法求一元二次方程的根，掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解题的关键所在．
11．D
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集．
【详解】解：由图象得：对称轴是直线，其中一个点的坐标为，
图象与轴的另一个交点坐标为．
利用图象可知：
的解集即是的解集，
或
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，利用数形结合是解题的关键．
12．A
【详解】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，
则y=（135﹣x﹣100）（100+4x），即：y=﹣4（x﹣5）2+3600，
由﹣4＜0，可得当x=5元时，每天获得的利润最大．
故选A．
【点睛】考点：二次函数的应用
13．6
【分析】设AB的长为，得到，表示出窗框的面积，利用二次函数的最值求解即可．
【详解】解：设的长为，则，
∴，
这窗框的面积，
，
，
，
，
∴当时，窗框ABCD的面积最大值为，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，表示出所需长度是解题的基础，列出函数关系式是关键．
14．2
【分析】根据二次函数定义可得且，求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得：，，，
∴；
故答案为：2
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上，
∴，
解得，，
即，，
∴，
∴矩形框架的周长为
故答案为：．
16．8
【分析】设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S=，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值．
【详解】如图，设AC、BD交于点O
设BD=x，则AC=8－x，其中0