3.6 2026年中考数学一轮专题复习直线和圆的位置关系 3.7 切线长定理能力提升训练

这是一份3.6 2026年中考数学一轮专题复习直线和圆的位置关系 3.7 切线长定理能力提升训练，共61页。试卷主要包含了7 切线长定理能力提升训练，5π，5，AC＝20．等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共20小题）
1．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，DE切⊙O于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．55°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内D．点C在圆上
5．如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3B．2.5C．3或2D．3或2.5
6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．42B．43C．8D．9
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
8．如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且CN=BN，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（ ）
A．30°B．25°C．20°D．22.5°
9．如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
A．2B．1C．10D．14π-12
10．如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A．165B．258C．5419D．4
11．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8B．9C．10D．11
12．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
13．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A．32B．23C．12D．34
14．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．12cmB．7cm
C．6cmD．随直线MN的变化而变化
16．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
17．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．63B．33C．6D．3
19．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
20．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
二．填空题（共16小题）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ．
22．矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF=3，则阴影部分的面积为 ．
23．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝ °．
24．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝20°，DC是⊙O的切线，C为切点，OB的延长线交DC于点D，则∠ODC＝ 度．
25．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，若AB是⊙O切线，则∠BAD+∠ACB的度数是 ．
26．如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，则阴影部分的周长是 ．
27．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ ．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 时，⊙P与坐标轴相切．
29．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于 ．
30．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ．
31．如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为 ．
32．一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 ．
33．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是 ．
34．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为 ．
35．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
36．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 ．
三．解答题（共16小题）
37．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．
38．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
39．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
40．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作⊙O且点C在⊙O上，AB与⊙O相切，切点是B，作⊙O直径CE，延长CE、AB交于点P，连接BE．
（1）求证：BC是△ACP的平分线；
（2）若CE＝6，BE＝2，求EP的长．
41．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）求出DE与BC的数量关系，并说明理由．
42．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
43．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若的半径为52，BD＝2，求CE的长．
44．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
45．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
46．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．
（1）求△PEF的周长；
（2）求∠EOF的度数．
47．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．
48．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
49．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
50．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P＝60°，PA＝10cm，那么AB的长为 cm．
51．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
52．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
3.6 直线和圆的位置关系
3.7 切线长定理能力提升训练（北师大版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，DE切⊙O于D，则∠CDE的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．55°
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BOC，进而求出∠COD，根据等腰三角形的性质求出∠ODC，根据切线的性质得到OD⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝30°，
∵∠BOD＝70°，
∴∠COD＝70°﹣30°＝40°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD=12（180°﹣40°）＝70°，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心
B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上
D．点E为AC中点
【分析】根据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，由AE＝BE，∠ABE＝∠CBE＝36°，可得点F是三角形角平分线的交点，进而可以判断点F是三角形ABC的内心．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣36°）＝72°，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA＝36°，
∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∵BE、AD交于点F，
∴点F是三角形内角平分线的交点，
∴点F是△ABC的内心．
故选：B．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠DOC＝60°，根据三角函数可求OD的长，即可求AB的长．
【解答】解：连接OD，
∵∠DOC＝2∠A＝2×30°，
∴∠DOC＝60°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴AD＝DC＝5，
故选：B．
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心2.5为半径的圆．下列结论中正确的是（ ）
A．直线BC与圆O相切B．直线BC与⊙O相离
C．点B在圆内D．点C在圆上
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对C选项和D选项进行判断，根据直线与圆的位置关系对A选项和B选项进行判断．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC＝4，
在Rt△ABH中，AH=AB2-BH2=52-42=3，
∵AB＝5＞3，
∴B点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∵AC＝5＞3，
∴C点在⊙A外，所以D选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH＝3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以B选项符合题意，A选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3B．2.5C．3或2D．3或2.5
【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为5，
∴当圆向右移动5﹣1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，
∴t＝（5﹣1）÷2＝2（s）或t＝（5+1）÷2＝3（s），
即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切．
故选：C．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（ ）
A．42B．43C．8D．9
【分析】设∠AEF＝n°，由题意得：nπ62360=12π，解得n＝120，推出∠AEF＝120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．
【解答】解：设∠AEF＝n°，
∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，
∴r＝6，
由题意得：nπ62360=12π，解得n＝120，
∴∠AEF＝120°，
∴∠FED＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD，∠D＝90°，
∴∠EFD＝30°，
∴DE=12EF＝3，
∴BC＝AD＝6+3＝9．
故选：D．
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
D．同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．
【解答】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；
C、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，故不符合题意；
D、同弧或等弧所对的圆周角相等，故符合题意；
故选：D．
8．如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且CN=BN，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（ ）
A．30°B．25°C．20°D．22.5°
【分析】连接OC，根据CN=BN，可得∠CON＝∠BON，根据MC为半圆O的切线，可得∠OCM＝90°，再根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，
∵CN=BN，
∴∠CON＝∠BON，
∵MC为半圆O的切线，
∴∠OCM＝90°，
∵∠M＝40°，
∴∠COM＝50°，
∴∠BON=12∠COM＝25°，
故选：B．
9．如图，在⊙O中，直径AB＝2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C＝45°，则阴影部分的面积为（ ）
A．2B．1C．10D．14π-12
【分析】连接AD，先证AC＝AB，再证明AD＝BD，得出AD=BD，得到阴影部分的面积等于△ADC的面积，即可求出结果．
【解答】解：连接AD；如图所示：
∵CA切⊙O于A，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°，
∴AC＝AB＝2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AD=12BC＝BD＝CD，
∴AD=BD，
∴S阴影＝S△ACD=12S△ABC=12×12AB•AC=12×12×2×2＝1．
故选：B．
10．如图，点O是矩形ABCD对角线BD上的一点，⊙O经过点C，且与AB边相切于点E，若AB＝4，BC＝5，则⊙O的半径长为（ ）
A．165B．258C．5419D．4
【分析】连接OC、OE，作OF⊥BC于点F，设⊙O的半径为r，先证明四边形BEOF是矩形，则BF＝OE＝OC＝r，CF＝5﹣r，再证明△EBO∽△ABD，推导出OF＝EB=45r，即可根据勾股定理列方程（45r）2+（5﹣r）2＝r2，解方程求出符合题意的r值即可．
【解答】解：连接OC、OE，作OF⊥BC于点F，则∠OFC＝∠OFB＝90°，
∵⊙O与AB边相切于点E，
∴AB⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝5，
∴∠EBF＝90°，DA＝BC＝5，
设⊙O的半径为r，
∵∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝90°，
∴四边形BEOF是矩形，
∴BF＝OE＝OC＝r，
∴CF＝5﹣r，
∵∠BEO＝∠A＝90°，∠EBO＝∠ABD，
∴△EBO∽△ABD，
∴EBAB=OEDA，
∴EB=ABDA•OE=45r，
∴OF＝EB=45r，
∵OF2+CF2＝OC2，
∴（45r）2+（5﹣r）2＝r2，
整理得16r2﹣250r+625＝0，
∴解得r=258或r=252（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径长为258，
故选：B．
11．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．
【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11．
故选：D．
12．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【分析】由切线长定理可得PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，由于△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，故可求得三角形的周长．
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
13．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A．32B．23C．12D．34
【分析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA=32．
故选：A．
14．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
A．12cmB．7cm
C．6cmD．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
16．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】根据切线长定理求出AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，得出等边三角形ADF，推出AD＝AF＝DF，根据BC＝6，求出BD+CF＝6，求出AD+AF＝4，即可求出答案．
【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD=12×4＝2，
故选：A．
17．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
18．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．63B．33C．6D．3
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝33，
∴光盘的直径为63，
故选：A．
19．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
20．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝2，于是得到结论．
【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，
连接OE，OF，
则四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EOM＝∠FON，
∴△OEM≌△OFN（ASA），
∴EM＝NF，
∴CM+CN＝CE+CF＝4，
∴OE＝2，
∴⊙O的面积为4π，
故选：C．
二．填空题（共16小题）
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 53＜AO＜154 ．
【分析】根据题意，需要分⊙O分别与边AB、BE相切两种情况下，计算出AO长度即可解答．
【解答】解：设⊙O与AB相切于点F，连接OF，OF＝1，
∵BE=12BC=12×6＝3，∠B＝90°，
∴AE=AB2+BE2=42+32=5，
△ABE中，∵AB＞BE，
∴∠BAE＜∠BEÁ
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＜∠DAE，
∵∠AFO＝∠ABE＝90°，∠FAO＝∠BAE，
∴△AFO∽△ABE，
∴AOAE=OFEB，即AO=OF×AEEB=1×53=53，
∵∠DAE＞∠BAE，
∴若⊙O与AD相切时，和AB一定相交；
若⊙O与AB相切时，和AD一定相离．
同理当⊙O与BC相切于点M时，连接OM，OM＝1，计算得EO=54，
∴此时AO＝5﹣EO＝5-54=154，
∴当53＜AO＜154时，⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，
故答案为：53＜AO＜154．
22．矩形ABCD中，AB＝6，以AB为直径在矩形内作半圆，与DE相切于点E（如图），延长DE交BC于F，若BF=3，则阴影部分的面积为 93-3π ．
【分析】连接OF、OE、OD，如图，在Rt△OBF中利用三角函数的定义求出∠OFB＝60°，再利用切线的性质和切线长定理得到∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，所以∠BFE＝120°，则∠ADE＝60°，同样可得∠ADO＝∠EDO＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD=3OA＝33，所以S△ADO=932；接着计算出∠AOE＝120°，于是得到S扇形AO＝3π，然后利用阴影部分的面积＝四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积进行计算即可．
【解答】解：连接OF、OE、OD，如图，
在Rt△OBF中，∵tan∠OFB=OBBF=33=3，
∴∠OFB＝60°，
∵BF⊥AB，
∴BF为切线，
∵DF为切线，
∴∠OFE＝∠OFB＝60°，OE⊥DF，
∴∠BFE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ADE＝60°，
∵AD⊥AB，
∴AD为切线，
而DE为切线，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，
在Rt△AOD中，AD=3OA＝33，
∴S△ADO=12×3×33=932；
∵∠AOE＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴S扇形AOE=120⋅π⋅32360=3π，
∴阴影部分的面积＝四边形AOED的面积﹣扇形AOE的面积＝2×932-3π＝93-3π．
故答案为93-3π．
23．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，则∠BOC＝ 115 °．
【分析】根据三角形的内心的概念得到∠OBC=12∠ABC＝30°，∠OCB=12∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=12∠ABC=12×60°＝30°，∠OCB=12∠ACB=12×70°＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°，
故答案为：115．
24．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝20°，DC是⊙O的切线，C为切点，OB的延长线交DC于点D，则∠ODC＝ 50 度．
【分析】由圆周角定理易求∠DOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OCD＝90°，进而可求出∠ODC的度数．
【解答】解：∵∠A＝20°，
∴∠BOC＝40°，
∵DC是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ODC＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
25．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O，若AB是⊙O切线，则∠BAD+∠ACB的度数是 90° ．
【分析】连接OB，则∠OBC＝∠ACB，由AD∥BC，得∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠ABO﹣∠ACB，由AB是⊙O切线，得∠ABO＝90°，则∠BAD+∠ACB＝180°﹣90°﹣∠ACB+∠ACB＝90°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB，则OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣∠ABO﹣∠OBC＝180°﹣∠ABO﹣∠ACB，
∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠BAD+∠ACB＝180°﹣90°﹣∠ACB+∠ACB＝90°，
故答案为：90°．
26．如图，若Rt△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，则阴影部分的周长是 8 ．
【分析】利用勾股定理求出BC＝13，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的周长．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC=AC2+AB2=13，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的周长是2×4＝8．
故阴影部分的周长是：8．
故答案为：8．
27．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ 125° ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ 90°-12α ．
【分析】（1）由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理和外角定理可求解；
（2）由（1）知∠BID＝∠DBI，根据三角形内角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI=180°-70°2=55°，
∴∠AIB＝180°﹣∠BID＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125°；
（2）由（1）知∠BID＝∠DBI，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠BID＝∠DBI=180°-∠ADB2=180°-α2=90°-12α，
故答案为：90°-12α．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒2个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 2或6或10 时，⊙P与坐标轴相切．
【分析】设⊙P与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，③当点P只与y轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（8，m），
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，x＝8时，y＝4，
∴A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AB＝42，AC＝82，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是2，
∴PD⊥x轴，PD＝2，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝2，PB＝22，
∴AP＝AB﹣PB＝22，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t＝2；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝22，
∴AP＝AB+PB＝62，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t＝6；
③当点P只与y轴相切时，
∵PC＝22，
∴AP＝AC+PC＝102，
∵点P的速度为每秒2个单位长度，
∴t＝10．
综上所述，则当t＝2或6或10秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：2或6或10．
29．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于 1 ．
【分析】根据切线的性质求得∠APO＝30°，∠PAO＝90°，再由直角三角形的性质得AO＝1．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO＝∠BPO=12∠APB，∠PAO＝90°
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∵PO＝2，
∴AO＝1．
故答案为：1．
30．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 S1+S3＝S2+S4 ．
【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，推出S1+S3=12r（a+b）+12 r（c+d）=12r（a+b+c+d）＝S2+S4．
【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，
设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，
S1=12r（a+b），S2=12r （b+c），S3=12 r（c+d），S4=12r（a+d），
∴S1+S3=12r（a+b）+12 r（c+d）=12r（a+b+c+d），
S2+S4=12r（a+d）+12r （b+c）=12r（a+b+c+d），
∴S1+S3＝S2+S4．
故答案为S1+S3＝S2+S4．
31．如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为 18 ．
【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，MA＝MC，NB＝NC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA、PB、MN分别与⊙O切于A、B、C，
∴PA＝PB，MA＝MC，NB＝NC，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝PM+MC+CN+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝9+9＝18，
故答案为：18．
32．一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是 πrc+r ．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是a+b+c2r；又直角三角形内切圆的半径r=a+b-c2，则a+b＝2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是πrc+r．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=a+b+c2r，
又∵r=a+b-c2，
∴a+b＝2r+c，
∴直角三角形的面积是r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是πrc+r．
故答案为：πrc+r．
33．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是 12 ．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，继而可得△PCD的周长＝PA+PB．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝12．
故答案为：12．
34．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为 16cm ．
【分析】由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长．
【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；
∴△PDE的周长为16cm．
故答案为16cm．
35．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 14 ．
【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长．
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
36．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 3 ．
【分析】通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB＝6，又因为PA＝PB，所以可求出PA的长．
【解答】解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，
∴PA＝3；
故答案为：3．
三．解答题（共16小题）
37．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．
【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得∠CDE＝∠OBC，再根据等量代换和直角三角形的性质可得∠OCE＝90°，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠OBC，
∵CE⊥AD，
∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，
∵∠ECD＝∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OG⊥AE于G，连接OC，OD，则∠OGE＝90°，
∵∠E＝∠OCE＝90°，
∴四边形OGEC是矩形，
∴OC＝EG，GD＝5﹣1＝4，
∴EC＝OG=52-42=3，
∴CD=32+12=10．
38．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝7.5，AC＝20．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
【分析】（1）连接OD、AD，则∠ODA＝∠BAD，由CD=BD，得∠CAD＝∠BAD，所以∠ODA＝∠CAD，则OD∥AC，所以∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）作OF⊥AC于点F，则AF=12AC＝10，可证明四边形ODEF是矩形，则OF＝DE=152，根据勾股定理求得OA=252，则直径AB的长是25．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵CD=BD，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于E，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，
∵DE经过⊙O的半径OD的外端，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：作OF⊥AC于点F，则∠AFO＝90°，AF＝CF=12AC=12×20＝10，
∵∠OFE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝DE=152，
∴OA=AF2+OF2=252，
∴AB＝2OA＝25，
∴直径AB的长是25．
39．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；
（2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平行线的性质可得∠E＝90°，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE．
40．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作⊙O且点C在⊙O上，AB与⊙O相切，切点是B，作⊙O直径CE，延长CE、AB交于点P，连接BE．
（1）求证：BC是△ACP的平分线；
（2）若CE＝6，BE＝2，求EP的长．
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质得到OB⊥AB，证明AC∥OB，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠OCB，证明结论；
（2）根据圆周角定理得到∠CBE＝90°，根据勾股定理求出BC，证明△ACB∽△BCE，根据相似三角形的性质求出AC，再证明△ACP∽△BOP，求出CP，进而求出EP．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A＝90°，
∴AC∥OB，
∴∠ACB＝∠OBC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ACB＝∠OCB，
∴BC是△ACP的平分线；
（2）解：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴BC=CE2-BE2=62-22=42，
∵∠A＝90°，
∴∠CBE＝∠A，
∵∠ACB＝∠CBE，
∴△ACB∽△BCE，
∴ACBC=BCCE，即AC42=426，
解得：AC=163，
∵OB∥AC，
∴△ACP∽△BOP，
∴ACOB=CPOP，即1633=CPCP-3，
解得：CP=487，
∴EP=487-6=67．
41．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）求出DE与BC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）连接OE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD，然后再利用等腰三角形的性质证明OE∥AB，即可解答；
（2）根据CD为⊙O的直径，∠DEC＝90°，然后证明DE是△ABC的中位线，即可解答．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，
又∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠ACD，
∴∠OEC＝∠A，
∴AB∥OE，
又∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：DE=12BC．理由如下：
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
又∵CD＝AD，
∴AE＝EC，
又∵AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC．
42．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，由CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE，证明AC平分∠BAF，即可证明∠OCA＝∠BAC＝∠CAF，则OC∥AF，所以∠OCG＝∠F＝90°，即可证明CF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理证明CE＝DE，BC=BD，则∠BAC＝∠BCE＝∠D＝30°，所以BC=12AB＝5，BE=12BC=52，根据勾股定理求得CE=532，CD＝2CE＝53．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE，
∴点C在∠BAF的平分线上，
∴AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∵CF经过⊙O的半径OC的外端，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，BC=BD，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠D＝30°，
∵AB＝10，
∴BC=12AB=12×10＝5，
∴BE=12BC=12×5=52，
∴CE=BC2-BE2=52-(52)2=532，
∴CD＝2CE＝2×532=53，
∴CD的长是53．
43．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若的半径为52，BD＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，只需证EF⊥OD即可；（2）连接AD，由△CDE∽△CAD，即可求解．
【解答】
（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD
即EF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA＝CE：CD，
∵AB＝AC，
∴DC＝DB＝2，
∵AC＝AB＝5，
∴2：5＝CE：2，
∴CE=45．
44．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，D交⊙O于点E，连接CE，AC＝2CE，AE＝3，求AB长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCA＝∠DAC，然后利用∠OAC＝∠OCA，得到∠DAC＝∠OAC；
（2）连接BE交OC于点H，先根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，证明△DCE∽△DAC，由AC＝2CE，AE＝3，可得CEAC=12=DECD=CDAD，然后利用勾股定理计算出AB的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：如图，连接BE交OC于点H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠CAB，
∴∠DCE＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∵AC＝2CE，AE＝3，
∴CEAC=12=DECD=CDAD，
∴CD＝2DE，CD2＝AD•DE，
∴4DE2＝AD•DE，
∴4DE＝AD，
∴3DE＝AE，
∴DE＝1，
∴CD＝2．
∵∠DEC＝∠D＝∠DCO＝90°，
∴四边形DCHE是矩形，
∴CD＝EH，∠EHC＝90°，
∴OC⊥BE，
∴BE＝2EH，
∴EH＝2，
∴EB＝4，
在Rt△AEB中，AB=AE2+BE2=5．
45．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．
（1）求证：∠POA＝2∠PCB；
（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．
【分析】（1）根据切线长定理证明Rt△POA≌Rt△POB，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可得结论；
（2）利用面积法求高线BE的长，利用勾股定理求OE，得CE的长，最后在Rt△OBE中，利用三角函数定义代入可得结果．
【解答】证明：（1）连接OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵PA=PBPO=PO，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA＝∠POB，
∵∠POB＝2∠PCB，
∴∠POA＝2∠PCB；
（2）过B作BE⊥PC于E，
∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，
∴PO＝5，
∴12PO•BE=12OB•PB，
∴BE=125，
由勾股定理得：OE=32-(125)2=95，
∴CE＝OC+OE＝3+95=245，
在Rt△OBE中，tan∠PCB=BECE=125245=12．
46．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．
（1）求△PEF的周长；
（2）求∠EOF的度数．
【分析】（1）直接利用切线长定理得出PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB进而得出答案；
（2）利用切线的性质以及四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA＝12cm，
∴EA＝EQ，FQ＝FB，PA＝PB＝12cm，
∴△PEF的周长＝PE+EQ+FQ+PF＝PA+PB＝24（cm）；
（2）∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝56°，
∴∠AOB＝124°，
∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，
∴∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，∠EAO＝∠EQO＝90°，
∠FQO＝∠FBO＝90°，
∴∠AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠FOB，
∴∠EOF=12∠AOB＝62°．
47．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．
【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
同理可得：DA＝DC，EB＝EC，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．
48．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
【分析】（1）由切线长定理可得PA＝PB，且∠P＝60°，可得△PAB是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，由圆周角定理和切线的性质可得∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，由锐角三角函数可求AC的长，
【解答】解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC=ACAB=33，
∴AC＝2×33=233cm．
49．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
【分析】利用切线长定理得出四边形CDFP的周长为AD+DC+CB即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵OA，OB是半径，
∴AF、BP都是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6．
50．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P＝60°，PA＝10cm，那么AB的长为 10 cm．
【分析】由切线长定理和∠P＝60°，可得△PAB为等边三角形，则AB＝PA．
【解答】解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA，
∵PA＝10cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
51．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ACD和∠BDC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠DCO和∠ODE的度数和，再根据三角形的内角和求出∠COD的度数．
【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA=12∠ACD；
同理：∠ODE=12∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=12（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
52．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：根据切线的性质得：∠PAC＝90°，
所以∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PAB＝∠PBA＝70°，
所以∠P＝180°﹣70°×2＝40°