专题十三：直线与圆的位置关系+专项练习+2026年中考数学一轮复习

这是一份专题十三：直线与圆的位置关系+专项练习+2026年中考数学一轮复习，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，切圆于点，交圆于，且，，则阴影部分的面积等于（ ）
A．B．C．D．无法确定
2．圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则．
A．当d=8cm，直线与圆相交．B．当d=4.5cm时，直线与圆相离．
C．当d=6.5cm时，直线与圆相切．D．当d=13cm时，直线与圆相切．
3．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．已知⊙O的直径为5，圆心O到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是：
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
5．如图，已知上三点、、，连接、、、，切线交的延长线于点，，则的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．如图，△ABC中，∠A = 70°，⊙O在△ABC的三条边上所截得的弦长都相等，则∠BOC的度数是（ ）；
A．140°B．135°C．130°D．125°
7．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（ ）
A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7D．0≤d＜3
8．如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，点I为△ABC的内心，且∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BIC＝ .
10．如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ．
11．如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线．若大圆半径为，小圆半径为，则弦的长为 ．
12．把光盘、含 60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是 ．
13．如图在边长为，，的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆如图所示，此圆的半径为 ．
14．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 ．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
(2)判断与轴的位置关系： ．
16．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D．
(1)求证：直线BC是⊙O的切线．
(2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积．
17．已知⊙的半径为，点P和圆心O的距离为．过点P画⊙的两条切线，求这两条切线的切线长．
18．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点D为弧BC中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E．连接DA、DB．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)延长ED交AB的延长线于F，若AD＝DF，DE＝，求⊙O 的半径．
19．如图，AB是⊙O的直径，C为半径OA的中点，CD⊥AB交⊙O于点D，E，DFAB交⊙O于点F，连接AF，AD．
(1)求∠DAF的度数；
(2)若AB＝10，求阴影部分的面积．（结果保留π）
20．如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F．
（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，，求的长．
参考答案
1．C
【分析】如图，连接OP，延长AO交圆于C，根据切割线定理可得到PA2=PB•PC，设圆的半径为r，由此即可求出r，而阴影部分的面积=S△APO-S扇形OPB，所以利用三角形和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OP，延长AO交圆于C，
∵AP切圆O于点P，
∴PA2=PB•PC，
设圆的半径为r，
则3=1×（1+2r），
∴r=1，
∴S阴影部分=S△APO-S扇形OPB=1×.
故选C.
【点睛】解题关键是利用切割线定理先求出圆的半径，然后再利用面积的割补法求阴影部分的面积．
2．C
【分析】根据圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系逐一判断即可.
【详解】∵圆的直径为13cm，
∴圆的半径为6.5cm
A. 当d=8cm时，因为6.5cm＜8cm，所以直线与圆相离，故A错误；
B. 当d=4.5cm时，因为6.5cm＞4.5cm，所以直线与圆相交，故B错误；
C. 当d=6.5cm时，因为6.5cm＝6.5cm，所以直线与圆相切，故C正确；
D. 当d=13cm时，因为6.5cm＜13cm，所以直线与圆相离，故D错误；
故选C.
【点睛】此题考查的是圆与直线的位置关系，掌握圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系是解决此题的关键.
3．C
【分析】根据题意连接OC，依据切线性质得出，进而利用勾股定理即可求出PC．
【详解】解：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴，
∵OB＝OC=3，PB＝2，
∴,
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，熟练掌握切线的性质以及勾股定理的运用是解题的关键．
4．C
【详解】试题解析：∵⊙O的直径为5cm，
∴⊙O的半径为2.5cm，
∵圆心O到直线AB的距离为5cm，
∴2.5＜5，
∴⊙O与直线AB的位置关系是相离，
故选C．
【点睛】本题考查了对直线与圆的位置关系的理解和运用，直线与圆的位置关系有三种：当d=R时，直线与圆相切；当d＜R时，直线与圆相交；当d＞R时，直线与圆相离．只要比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小即可．
5．C
【分析】根据圆心角等于同弧所对圆周角的2倍求得，再利用切线的性质定理求得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵BD是的切线，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，切线的性质定理，利用直角三角形两锐角互余的计算，熟练掌握圆周角定理及圆的切线的性质定理是解题的关键．
6．D
【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【详解】∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-70°）=55°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-55°=125°．
故选D．
7．D
【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
【详解】解：由题意知，
两圆内含，则0≤d＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），
即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d＜3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d＞R+r；②外切，则d=R+r；③相交，则R-r＜d＜R+r；④内切，则d=R-r；⑤内含，则d＜R-r．
8．D
【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段的中垂线，逐一进行判断即可．
【详解】解：连接，

则：，
∵是的两条切线，
∴，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴；
∴，
条件不足，无法得到，
∴；
综上，只有选项D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等．
9．125°
【分析】根据内心的性质得到IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，则∠IBC=∠ABC=20°，
∠ICB =∠ACB=35°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BIC的度数．
【详解】∵点I为△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC=∠ABC=×40=20, ∠ICB =∠ACB =×70=35，
∴∠BIC =180−∠IBC −∠ICB =125.
故答案为125.
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心.
10．42
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，结合，可得，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵，分别与相切于A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：42．
11．16cm
【详解】设切点是C，连接OA，OC．
在Rt△OAC中，AC==8cm，所以AB=16cm．
12．
【分析】如图作辅助线，根据切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，求出∠ABO＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理计算即可
【详解】解：如图，设三角板和光盘的切点为C，圆心为O，连接OA，OB，
由切线长定理可知，AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC＝60°，
∴OB＝2AB＝4，
∴OA＝，
∴光盘的直径是，
故答案为：
【点睛】本题考查了切线长定理，含30度直角三角形的性质以及勾股定理，求出∠ABO＝60°是解题的关键．
13．1
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形内切圆半径公式：（r为内切圆半径，a、b是直角边，c是斜边）．
根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形，利用直角三角形内切圆半径公式求出此圆的半径．
【详解】解：∵，
∴边长为，，的三角形是直角三角形，
若设该直角三角形的内切圆的半径为r，则有：
．
∴此圆的半径为．
故答案为：1.
14．
【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°
∵四边形BCDE是正方形
∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形
∴AO＝FO，AFAO
∵∠BOC＝∠AOF＝90°
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO
∴△AOB≌△FOC（SAS）
∴AB＝CF＝4
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF
∴AF≤AC+CF＝2+4＝6
∴AF的最大值为6
∵AFAO
∴AO的最大值为3．
故答案为：3
15．(1)见解析，
(2)相交
【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；
（1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求；
（2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断；
【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示：
点坐标为：
故答案为：；
（2）∵，
即：的半径，
点到轴的距离，
∵，
∴与轴相交，
故答案为：相交．
16．(1)见解析
(2)阴影部分的面积为π-4．
【分析】（1）连接OD，由AD平分∠BAC，可知∠OAD=∠CAD，易证∠ODA=∠OAD，所以∠ODA=∠CAD，所以OD∥AD，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，从而可证直线BC是⊙O的切线；
（2）根据含30度角的直角三角形性质可求出AB的长度，然后求出∠AOD的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°，
得：AB=2AC=12，OB=2OD，∠AOD=120°，
∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴OB=2OA，
∴OA=OD=4，
由∠DAC=30°，得DC=2，
∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD
=
=π-4．
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识．
17．
【分析】连接AO，先根据切线长的性质可得PA=PB，OA⊥PA，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接AO
∵PA，PB为⊙的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴△APO是直角三角形．
∵OA=3cm，OP=6cm，
∴cm，
∴PA=PB=cm．
【点睛】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．(1)详见解析
(2)2
【分析】（1）连接OD，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出OD⊥DE，则可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，则得出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为半圆O的切线；
（2）解：∵AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
又∵∠EAD＝∠DAF，
∴∠EAD＝∠DAF＝∠DFA，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∴∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，
∴AD＝2DE＝2，
∴BD＝，
∴AB＝2BD＝4，
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．(1)30°；
(2)π．
【分析】（1）根据平行线的性质和直角三角形边的关系确定的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案；
（2）根据已知条件确定的度数，根据“等底同高”确定和面积相等，最后阴影部分的面积即为扇形的面积．
【详解】（1）连接EF，如图所示，
∵DFAB，CD⊥AB，
∴∠EDF＝∠ECB＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∵C为半径OA的中点，
∴OC＝OA＝OE，
∴∠E＝30°，
∴∠DAF＝∠E＝30°．
（2）
如图，连接OD，则∠DOF＝2∠E＝60°，
∵DFAB，
∴＝，
∴＝，
∵OD＝AB＝5，
∴＝＝π．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、扇形的面积计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形性质，直角三角形证明即可；
（2）设OD=x，求证，列比例求解即可．
【详解】解：证明：连接OD，如图：
∵AB为直径，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴ED=EB，
∴，
∵，
∴，
∵OA=OD，
∴
∵，，
∴，
∴
∴是圆O的切线．
（2）∵E是BC中点，BC=4,
∴BE=2，
∴，
在和中，，，
∴，
∴设OD为x，
则，
解得：,
则．
【点睛】本题主要考查圆切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用角的等量转化是解决本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
C
C
C
C
D
D
D