河南开封市重点中学2026届高三第二学期入学检测数学试题含答案

这是一份河南开封市重点中学2026届高三第二学期入学检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了8 亿元 B， 下列大小关系正确的是， 设抛物线 T等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写, 字体工整、笔迹清晰.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出, 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸 刀.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 有且只有一项符合题目要求.
1. 已知集合 A=x∣x2−2x−3≤0,B={x∣1−x>a} ，且 A∩B=A ，则 a 的取值范围是( )
A. −∞,−2 B. (−∞,−2] C. 2,+∞ D. −∞,2
2. 复数 z=i2+i ，则 z= ( )
A. 3 B. 5 C. −1+2i D. 1−2i
3. 已知非零向量 a,b,c ，满足 a≠b ，则 a⋅c=b⋅c 是 c=0 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知实数 a∈R ,则 “ ∀x>0,x+ax≥2 ” 是 “ a≥1 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 fx 是偶函数， fx+4=−fx ， gx=fx−x ，则 g6= ( )
A. 6 B. 3 C. 0 D. -6
6. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第 x 年的生产利润为 y (单位:亿元)，现统计前 7 年的数据为 1,y1 ，2,y2 ，...，7,y7 ,根据该组数据可得 y 关于 x 的回归直线方程为 y=0.5x+a ,且 i=17yi=30.1 ,预测改进后该企业第 8 年的生产利润为( )
A. 10.8 亿元 B. 10.3 亿元
C. 6.8 亿元 D. 6.3 亿元
7. 下列大小关系正确的是( )
A. 0.994.5>0.993.3 B. lg0.8cs−17π4 D. tan13π40 时, Sn 的最小值为 −1k
C. 数列 an 是公差为 2k 的等差数列 D. 若数列 Sn 是单调递增数列,则 k>23
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时, 发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹. 我们称其为卡西尼卵形线 (CassinniOcal). 在平面直角坐标系中, 设定
点为 F1−2,0,F22,0 ,点 O 为坐标原点,动点 Px,y 满足 PF1⋅PF2=4 . 下列四个命题中, 正确的是 ( )
A. 点 P 的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B. 点 P 的横坐标的取值范围是 −4,4
C. PF1+PF2 的最小值为 4 D. △F1PF2 的面积的最大值为 2
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知双曲线 Γ:x23−y22=1 ,则双曲线 Γ 的焦距为_____.
13. 若 x>0,y>0,lg23x+2y=2lg2x+4 ，则 1x+2y 取得最小值时， x= _____.
14. 已知 a>b>c ,若 1a−b+4b−c≥ma−c 恒成立,则 m 的最大值为_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知曲线 fx=x2x−3m .
(1)若 fx 在点 1,1−3m 处的切线与直线 3x−y=0 平行，求实数 m 的值；
( 2 )若曲线 fx 与曲线 gx=12x 在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数 m 的值.
16. 如图,已知 PA⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为矩形, PA=AB=1,AD=3 ,点 E , F 分别是 BC,PB 的中点

(1)证明: AF⊥ 平面 PBC ；
(2)若点 M 为线段 AD 中点，求证: PM// 平面 AEF .
(3)求二面角 D−PE−C 的余弦值.
17. 第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、 生物医药等前沿领域，共征集到 107 项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关. 其中, 安徽本省的一支优秀科研团队 ——“徽创未来”团队, 已成功进入现场赛的最
终答辩环节. 该团队共有 6 名核心成员，按研究方向分为三个小组:硬件组 2 人 H1,H2 、 算法组 2 人 A1,A2 、数据组 2 人 D1,D2 . 现从 6 人中随机抽取 3 人组成现场答辩代表小组, 每名成员被抽中的概率相等.
(1)求事件“硬件组的 H1 和算法组的 A1 同时被抽中”的概率;
(2)求事件“硬件组恰有 1 人被抽中”的概率；
(3)已知答辩代表小组的 3 人中至少有 2 人答辩通过，该团队答辩通过. 现 H1 ， A1 ， D1 被选中组成答辩代表小组,三人各自答辩通过的概率分别为 12,23,34 ,三人答辩通过相互独立,求该团队答辩通过的概率.
18. 若各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn=an+1n∈N∗ .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若正项等比数列 bn ，满足 b2=2 ， 2b3+b4=b5 ，求 Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn ；
(3)对于(2)中的 Tn ，若对任意的 n∈N∗ ，不等式 λ⋅−2n+1b>0 的离心率 e=22 ，点 1,2 在椭圆上.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过 1,0 的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M,N ，设 MN 的中点为 T ，
①若直线 l 的斜率为 1，求 MN ；
②若点 P2,0 ，判断 TP 与 TM 的大小，并证明你的结论.
1. A
由不等式 x2−2x−3≤0 ,可得 x−3x+1≤0 ,解得 −1≤x≤3 ,所以 A={x∣−1≤x≤3} , 又由集合 B={x∣1−x>a}={x∣x3 ,解得 a0,x+ax≥2 ,则 a≥−x2+2x ,而 −x2+2x=−x−12+1≤1 ,
当且仅当 x=1 时取等号,因此 a≥1 ;
当 a≥1,x>0 时, x+ax≥2a≥2 ,当且仅当 x=a=1 时取等号,
所以 ∀x>0,x+ax≥2 是 a≥1 的充要条件.
故选: C.
5. D
由 gx=fx−x ,得 g6=f6−6 ,
由 fx+4=−fx ,得 fx+8=−fx+4=fx ,
所以 f6=f−2 ,
对于 fx+4=−fx ,令 x=2 ,得 f6=−f2 ,故 −f2=f−2 ,
又 fx 是偶函数,所以 f−2=f2=0 ,故 g6=f6−6=−6 .
故选: D.
6. D
x=1+2+3+4+5+6+77=4,y=30.17=4.3 ,
所以 4.3=0.5×4+a,a=2.3 ,所以 y=0.5x+2.3 ,
当 x=8 时, y=0.5×8+2.3=6.3 亿元.
故选: D
7. D
对于 A: 因为 y=0.99x 在定义域 R 上单调递减,所以 0.994.5lg0.6 ,故 B 错误;
对于 C:cs−23π5=cs23π5=cs3π5,cs−17π4=cs17π4=csπ4 ,
又 y=csx 在 0,π 上单调递减,所以 csπ4>cs3π5 ,即 cs−23π50,
设 Cx1,y1,Dx2,y2 ,
则 x1+x2=18+837+43=30−163 ,
所以 CD=x1+x2+2=32−163 .

故选: A.
9. ACD
对于 A:bcsA+acsB=b⋅b2+c2−a22bc+a⋅a2+c2−b22ac=c=4 ,故 A 正确;
对于 B : 由正弦定理得 bsinB=csinC ,解得 sinB=bsinCc=738>1 ,
故符合条件的三角形不存在, 故 B 错误;
对于 C : 由余弦定理得 c2=a2+b2−2abcsC ,
即 16=a2+b2−ab≥a2+b2−a2+b22 ,
所以 a2+b2≤32 ,当且仅当 a=b 时,等号成立,故 C 正确;
对于 D: csBcsA=csπ−A+CcsA=−csA+π3csA=32sinA−12csAcsA=32tanA−12 ,
因为 A∈0,2π3 ,所以 tanA∈−∞,−3∪0,+∞ ,
所以 32tanA−12∈−∞,−2∪−12,+∞ ,
即 csBcsA 的取值范围为 −∞,−2∪−12,+∞ ,故 D 正确.
故选: ACD.
10. ACD
对于选项 A ,因为 a5=S5−S4 ,又 a5=S5 ,所以 S4=0 ,即 16k−8=0 ,
所以 k=12 ,故 A 正确;
对于选项 B ,当 k>0 时,因为 Sn=kn2−2kn+1k2−1k=kn−1k2−1k ,而 n∈N∗ , 所以 Sn 的最小值不一定为 −1k ,故 B 不正确;
对于选项 C ,当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1=2kn−k−2 ,则 a1=S1=k−2 满足此式,
故 an−an−1=2k ,因此数列 an 是公差为 2k 的等差数列,故 C 正确;
对于选项 D ,当 k=0 时, Sn=−2n 不是单调递增数列;
当 k≠0 ,因为 Sn=kn−1k2−1k ,所以当数列 Sn 是单调递增数列时, k>01k23 .
综上,当数列 Sn 是单调递增数列时, k>23 ,故 D 正确.
故选: ACD.
11. ACD
由题意可知 P 的轨迹方程为: x+22+y2⋅x−22+y2=4 ,
则 Px,y 关于 x 轴对称的点 P1x,−y 的横纵坐标满足
x+22+−y2⋅x−22+−y2=x+22+y2⋅x−22+y2=4 ,
同理 Px,y 关于 y 轴对称的点 P2−x,y ,
关于原点对称的点 P3−x,−y 均满足轨迹方程
−x+22+y2⋅−x−22+y2=x+22+y2⋅x−22+y2=4 ,
−x+22+−y2⋅−x−22+−y2=x+22+y2⋅x−22+y2=4 ,
即 P 的轨迹关于 x 轴、 y 轴轴对称,关于原点中心对称,故 A 正确;
由基本不等式可知 PF1+PF2≥2PF1⋅PF2=4 ,当且仅当 PF1=PF2 ,
即 P0,0 时取得最小值,故 C 正确;
将轨迹方程 x+22+y2⋅x−22+y2=4 平方得
x2−42+y4+2y2x2+4=16⇒x2+y2+42=16+16x2,
整理得 y2=4x2+1−x2−4=−x2+1−22+1≥0 ,
解之得 x2+1∈1,3 ,
所以 1≤x2+1≤9⇒x∈−22,22 ,故 B 错误;
又因为 y2=−x2+1−22+1≤1 ,故 y≤1⇒S△F1PF2=12F1F2y≤2 ,
当且仅当 x2=3,y2=1 时取得最大值,故 D 正确.
故选: ACD.
12. 25
设双曲线的实半轴长为 a ,虚半轴长为 b ,焦距为 2c ,
由双曲线方程可知 a2=3,b2=2 ,
则 c2=a2+b2=5 ,
所以 c=5 ,
即双曲线的焦距为 2c=25 ,
故答案为: 25 .
13. 22−2
由 lg23x+2y=2lg2x+4
可整理得 3x+2y=x+42=x+4 ,得 x+y=2 ,
所以 1x+2y=x+y2⋅1x+2y=32+y2x+xy≥32+2y2x⋅xy=32+2 ,
当且仅当 y2x=xy 即 y=2x 时取等号,结合 x+y=2 ,解得 x=22−2 ,
故答案为: 22−2 .
14. 9
由 a>b>c ,知 a−b>0,b−c>0,a−c>0 ,
由 1a−b+4b−c≥ma−c ,得 m≤a−c1a−b+4b−c ,
又 ∵a−c=a−b+b−c ,
∴a−c1a−b+4b−c=a−b+b−c1a−b+4b−c
=5+4a−bb−c+b−ca−b≥5+24a−bb−c⋅b−ca−b=9 ,
当且仅当 4a−bb−c=b−ca−b ,即 b−c=2a−b 时, a−c1a−b+4b−c 取得最小值 9,
∴m≤9,∴m 的最大值为 9 .
故答案为: 9 .
15. (1)0
(2) 16
(1) 由 fx=x2x−3m=x3−3mx2 ,则 f′x=3x2−6mx ,
而直线 3x−y=0 的斜率为 3,
所以 f′1=3−6m=3 ,解得 m=0 .
(2)由题意， f′x=3x2−6mx ， g′x=−12x2 ，
设公共点为 x0,y0,x0>0,y0>0 ,则 f′x0=3x02−6mx0,g′x0=−12x02 ,
由于曲线 fx 与曲线 gx=12x 在第一象限的公共点处的切线互相垂直，
所以 3x02−6mx0×−12x02=−1 ,则 x0=6m,m>0 ,
又 y0=x03−3mx02y0=12x0 ,则 y0=x03−3mx02=216m3−108m3=108m3y0=12x0=112m ,
所以 108m3=112m ,解得 m=16 .
16.(1)在矩形 ABCD 中, BC⊥AB ,因为 PA⊥ 平面 ABCD , BC⊂ 平面 ABCD ,
所以 PA⊥BC ,又 PA∩AB=A,PA,AB⊂ 平面 PAB ,所以 BC⊥ 平面 PAB ,
又 AF⊂ 平面 PAB ,所以 BC⊥AF ,又 F 是 PB 的中点, PA=AB=1 ,
所以 AF⊥PB ,又 PB∩BC=B,PB,BC⊂ 平面 PBC ,所以 AF⊥ 平面 PBC ,
(2)连结 BM 交 AE 于 N ,连结 FN,ME ,
因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AD//BC ,且 AD=BC ,
又 M,E 分别为 AD,BC 的中点,所以 AM//BE ,且 AM=BE ,
所以四边形 AMEB 是平行四边形,所以 N 为 BM 的中点,
又因为 F 是 PB 的中点,所以 NF//PM ,因为 PM⊄ 平面 AFE,NF⊂ 平面 AFE ,所以 PM// 平面 AEF ;

(3)以 A 为坐标原点， AD,AB,AP 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则 D3,0,0,E32,1,0,A0,0,0,P0,0,1,B0,1,0,F0,12,12 ,
所以 DP=−3,0,1,DE=−32,1,0,AF=0,12,12 ,
设设平面 PDE 的一个法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅DP=−3x+z=0n⋅DE=−32x+y=0 ,令 x=2 ,则 y=3,z=23 ,
所以平面 PDE 的一个法向量为 n=2,3,23 ,
由( 1 )可知 AF⊥ 平面 PBC ，所以 AF=0,12,12 平面 PEC 的一个法向量，
所以 csAF,n=AF⋅nAF⋅n=33222×4+3+12=311438 ,
由图可知所求二面角是锐二面角,
所以二面角 D−PE−C 的余弦值为 311438 .
17. 115
(2) 35
(3) 1724 .
(1)从 6 人中随机抽取 3 人的所有可能组合为: H1H2A1 ， H1H2A2 ， H1H2D1 ，
H1H2D2,H1A1A2,H1A1D1,H1A1D2,H1A2D1,H1A2D2,H1D1D2 ,
H2A1A2,H2A1D1,H2A1D2,H2A2D1,H2A2D2,H2D1D2,A1A2D1 ,
A1A2D2,A1D1D2,A2D1D2 ,共 20 种.
记“硬件组的 H1 和算法组的 A1 同时被抽中”为事件 X ,则事件 X 包含: H1H2A1 ,
H1A1A2,H1A1D1,H1A1D2 ,共 4 种,所以 PX=420=15 .
(2)记“硬件组恰有 1 人被抽中”为事件 Y ，则事件 Y 包含: H1A1A2,H1A1D1 ，
H1A1D2,H1A2D1,H1A2D2,H1D1D2,H2A1A2,H2A1D1,H2A1D2 ,
H2A2D1,H2A2D2,H2D1D2 ,共 12 种,所以 PY=1220=35 .
(3)记 H1,A1,D1 答辩通过分别为事件 H,A,D ，则 PH=12,PA=23,PD=34 ，
记“该团队答辩通过”为事件 Z ，则 Z=HAD+HAD+HAD+HAD ，
PZ=PHAD+HAD+HAD+HAD
=PHAD+PHAD+PHAD+PHAD
=12×23×34+1−12×23×34+12×13×34+12×23×14=1724 .
18. 1an=2n−1 ;
(2) Tn=2n−3⋅2n+3 ；
(3) −134,3 .
(1) 由 2Sn=an+1n∈N∗ ,可得 4Sn=an+12 ,且 an>0 ,
又 4Sn+1=an+1+12 ,所以 4an+1=4Sn+1−4Sn=an+1+12−an+12 ,
即 an+1+an⋅an+1−an=2an+1+an ,
因为 an>0 ,所以 an+1+an≠0 ,所以 an+1−an=2 ,
所以 an 是公差为 2 的等差数列.
又 4a1=a1+12 ,得 a1=1 ,所以 an=1+n−1×2=2n−1 .
(2)设 bn 的公比为 qq>0 ，因为 2b3+b4=b5 ，所以 2b3+b3q=b3q2 ，
即 2+q=q2 ,解得 q=−1 (舍) 或 q=2 ,
因为 b2=2 ,所以 b1=1,bn=2n−1 ,
所以 Tn=a1b1+a2b2+⋯+anbn=1×1+3×2+5×22+⋯+2n−1×2n−1 ,
2Tn=1×2+3×22+5×23+…+2n−1×2n,
两式相减得: −Tn=1+22+22+…+2n−1−2n−1×2n=1+2×2−2n1−2−2n−1⋅2n
=3−2n⋅2n−3 .
所以 Tn=2n−3⋅2n+3 ;
(3)由(2)得不等式 λ⋅−2n+1