湖南省怀化市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省怀化市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析），文件包含湖南省怀化市2025-2026学年上学期高一期末考试数学试卷Word版含解析docx、湖南省怀化市2025-2026学年上学期高一期末考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
温馨提示：
（1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为 120 分钟，满分 150 分.
（2）请你将姓名､准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上.
（3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效.
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合交集的运算计算即可.
【详解】已知集合 ，
则 .
故选：B
2. 已知幂函数 过点 ，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义设函数 的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求 值即可.
【详解】因为函数 为幂函数，所以可设 ，
因为 图象过 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
第 1页/共 16页
所以
故选：A
3. 若圆的半径是 ，则该圆中圆心角为 的扇形面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式，代入计算即可
【详解】扇形面积公式为 ，由题意得 ， ，
则
故选：C.
4. 若 ，则下列不等式不能恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐一分析选项.
【详解】选项 A：因为 ，负数的绝对值越大，数值越小，故 恒成立；
选项 B： ， 且 （因为 ），两个负数相乘为正，故 恒成立；
选项 C： ，两边同除以正数 （ 为负，乘积为正），得 ，即 恒成立；
选项 D：取 ， （满足 ），则 ， ， ，
此时 ，不等式不成立，故 D 不能恒成立，
故选：D
5. 的值为
第 2页/共 16页
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析： ,故选 C.
考点：两角和的正切公式.
6. 下列式子中最小值为 2 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于 A，取 可得 ，由此判断 A，对于 B，结合二次函数性质判断即可，对于 C，结
合指数函数性质及基本不等式求 的最小值即可判断，对于 D，结合正弦函数性质求 的范围
即可判断.
【详解】对于 A，当 时， ，故 A 错误.
对于 B，因为 ，故函数的最小值为 1，故 B 错误.
对于 C，因为 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故 C 正确，
对于 D，因为 ，故 ，
当且仅当 时左侧等号成立，当且仅当 时右侧等号成立，
故 的最小值为 ，故 D 错误.
故选：C.
7. 设 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
第 3页/共 16页
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质即可得到结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C.
8. 已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明函数 为偶函数，再判断函数 的单调性，结合函数性质分类求解不等式即可.
【详解】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
因为 ，
所以函数 为偶函数，
因为函数 ， 在 上都单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
又 ，
由不等式 可得① 或② ，
由①可得 ，解得 ；
第 4页/共 16页
由②可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：B .
二､多项选择题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 命题“ ” 否定为“ ”
B. 命题“任意三角形都不是中心对称图形”为真命题
C. “ ”是“ ”的必要不充分条件
D. “四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等” 充要条件
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A，直接写出命题的否定，即可判断；对 B，由对称中心图形的定义即可判断；对 C 和 D，利
用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】对于 A，因为命题“ ”的否定为“ ”，所以 A 错误，
对于 B，因为不存在点，使任意三角形绕这个点旋转 后与原三角形重合，所以任意三角形都不是中心
对称图形，故 B 正确，
对于 C，取 ，显然满足 ，但 ，所以 推不出 ，
又由 得 ，所以 可以推出 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 C
正确，
对于 D，由平行四边形的性质可知，平行四边形两组对边分别相等；若四边形两组对边分别相等，则这个
四边形为平行四边形，
所以“四边形为平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”的充要条件，故 D 正确，
故选：BCD.
10. 已知 ，则下列说法中正确的是（）
A. 是 的一个周期
第 5页/共 16页
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 将 的图象向左平移 个单位后图象关于 轴对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用辅助角公式可得 ，结合正弦函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】 ，
选项 A： 的最小正周期 ，故 也是 的周期，A 正确；
选项 B：正弦函数对称轴满足 ，解得 ，
当 时， ，故 关于直线 对称，B 正确；
选项 C：当 时， ， 在 上单调递减，
故 在区间 上单调递减，C 错误；
选 项 D： 将 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 可 得 ：
，
因 ，即 是偶函数，图象关于 轴对称，D 正确.
故选：ABD
11. 已知函数 对任意实数 都满足 ，且 ，则下列说
法中正确的是（ ）
A. B.
C. 是偶函数 D. 是周期函数
【答案】BCD
第 6页/共 16页
【解析】
【分析】利用赋值法判断 A，B 选项，利用赋值法结合函数的奇偶性判断 C 选项，利用赋值法可求出函数
是周期函数判断 D 选项.
【详解】令 ，则 .因为 ，所以 ，A 选项错误；
令 ，则 ，所以 ，B 选项正确；
令 ，则 ，所以 ，C 选项正确；
令 ，则 ，
类比得 ，所以 ，故 是以 为周期的函数，D 选
项正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ，则实数 的值为__________.
【答案】0
【解析】
【分析】由条件结合集合包含关系的定义可得 ，列方程求 ，利用集合元素的互异性排除增根即
可..
【详解】因为 ，所以 ，
故 或 ，解得 或 ，
当 时： ，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当 时： ， ，满足条件 ，
故答案为：
13. 若函数 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，可得 ，即
第 7页/共 16页
【详解】因为 ，
所以
又 ，
所以
故答案为： .
14. 已知函数 与函数 的零点分别为 ，则 __________.
【答案】5
【解析】
【分析】由条件可得 是 的零点，设 与 的交点为 ，根据零点的性质
及反函数性质可得 在直线 上，由此可求结论.
【详解】由已知可得 是 的零点.
故 与 的交点 的横坐标为 ；
又 与 的交点 的横坐标为 .
因为 与 的图像关于 对称，
故 ，而 在直线 上，
所以 ，即 ，
故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）
（2）
第 8页/共 16页
（3）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的性质化简计算；
（2）利用对数函数的性质化简计算；
（3）利用三角函数诱导公式化简计算.
【详解】（1）原式
（2）原式 ；
（3）原式
.
16. 已知函数 ，
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求不等式 的解集；
（2）当 时，对任意 满足 ，且 恒成立，求实数 的取
值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）由条件可得 是方程 的两个根，结合韦达定理即可求得 ，再
解不等式即可.
（2）条件不等式 恒成立可转化为 ，利用基本不等式求 的最
小值，再解不等式即可.
【小问 1 详解】
第 9页/共 16页
∵不等式 的解集是 ，
是方程 的两个根，
由韦达定理得： 即 ，
所以不等式 可化为 ，
化简得 ，
所以
故不等式 的解集为 ；
【小问 2 详解】
恒成立，即 恒成立，
当且仅当 ，即 时等号成立，
解 得 ，
则实数 的范围是： .
17. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为 ，空气温度为 ，那么经过 后
物体的温度 （单位： ）可由公式 （其中 ）求得，其中 是一
个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.现有 的物体，放在 的空气中冷却， 以后的
温度是 .
（1）求 的值；
（2）若将 的物体，放在 的空气中冷却，该物体的温度降至 需要多少分钟？
（精确到小数点后一位）（参考数值： ）
第 10页/共 16页
（3）该函数模型为 （其中 ），请结合实际意义对函数模型及其
系数 给出合理的解释.
【答案】（1）
（2）52.9 分钟 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据冷却公式代入已知温度和时间，利用指数方程和对数运算解得参数 ；
（2）沿用相同模型代入新数据，结合第一问的 值列出方程，通过对数换底和近似计算求解所需时间；
（3）结合函数模型分析其实际意义，说明 代表环境温度、 为初始温差，并解释温度随时间趋于环境温
度的变化规律.
小问 1 详解】
由题意知，
，
.
【小问 2 详解】
设该物体需要放置 分钟温度降至 ，
由题意知，
由（1）知
即
，
故该物体的温度降至 需要 分钟.
【小问 3 详解】
当物体的温度高于环境温度，随着时间的增加，物体的温度下降，温度下降的速度也应该是先快后慢，故
函数模型是合理的.
第 11页/共 16页
当 时，物体初始温度 ；
当 时，即当物体冷却时间足够长时，物体的温度会趋近于环境温度 ，
又当 时， ，
因此 ，
故
18. 如图，在平面直角坐标系 中，锐角 的终边与单位圆交于点 ，射线 绕点 按逆时针
方向旋转 角后交单位圆于点 ，点 的纵坐标为 .
（1）求 值；
（2）若 ，且 ，求 的值；
（3）设 ，其中 ，函数 在 上没有零点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】根据三角函数定义可知 ，代入即可；
根据 ，可得到 ， ，然后利用和角公式即可；
第 12页/共 16页
第三问先写出 解析式，然后结合余弦函数图象可得答案.
【小问 1 详解】
由三角函数定义知， 为锐角， ，
.
【小问 2 详解】
由（1）知
由题意知，
，则 ，
，
【小问 3 详解】
且 在 上没有零点，
， ，
，
令 ，
第 13页/共 16页
则 在 上没有零点，结合余弦函数图象可得
，或 ，
故 的取值范围为 或 .
19. 我们知道，函数 的图象关于原点中心对称的充要条件是函数 为奇函数.该结论可以推广
为：函数 的图象关于点 中心对称的充要条件是函数 为奇函数.
（1）若函数 的图象关于点 中心对称，证明： ；
（2）直接写出函数 图象的对称中心.请判定 在区间 的单调性并用定义
证明；
（3）已知函数 ，其中 ，若正数 满足
，且不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）函数 图象对称中心为 ， 在区间 的单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）通过构造奇函数并利用对称性定义，代入变量代换即可得到所证等式；
（2）根据函数结构直接写出对称中心，再通过作差法结合立方差公式证明单调递增；
（3）方法一利用对称中心将求和式配对化简得到 ，再对待求式通过恒等变形后使用均值不等式
求出最小值；方法二先得到 ，再利用该不等式放缩分母后换元，通过均值不等式求出最小值.
【小问 1 详解】
证明：因为函数 的图象关于点 成中心对称图形，
第 14页/共 16页
令 ，所以 为奇函数.
即 ，
即 ，
令 ，则 ，即 .
【小问 2 详解】
函数 的图象对称中心为 ，
判断： 在区间 单调递增
证明：设 ，则 ，
，
，
，
，
，即 ，
故 在区间 的单调递增.
【小问 3 详解】
，
，
，可得 的对称中心为 ，
，
第 15页/共 16页
，
两式相加得： ，即 ，
由题意知 恒成立.
方法一：由 ，
而 ，
当且仅当 时取等号.
方法二：由 ，令 ，
则 ，
当且仅当 时取等号.