湖南省怀化市2021-2022学年高一数学上学期期末考试试卷（Word版附解析）

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2021年下期期末考试

高一数学

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的交集运算法则计算即可.

【详解】因为集合，

所以.

故选：C

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定的写法可得答案.

【详解】命题“”的否定是，

故答案为：A.

3. 函数的定义域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据被开方数不小于零、对数真数大于零列不等式组得解.

【详解】由题可知：

，解得，

所以函数的定义域是.

故选：A.

4. “”是“”成立的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】解出不等式，进而根据不等式所对应集合间的关系即可得到答案.

【详解】由，而是的真子集，所以“”是“”成立的必要不充分条件.

故选：B.

5. 若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求圆心角的弧度数，再由弧长公式求弧长.

【详解】∵圆心角为，

∴ 圆心角的弧度数为，又扇形的半径为2，

∴  该扇形的弧长，

故选：B.

6. 要得到函数的图像，只需将函数图的图像

A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.

【详解】依题意，故向左平移个单位得到，故选D.

【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.

7. 缪天荣，浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过年苦心研究，年，他成功研制出“对数视力表”及“分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统，使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“分记录法”将视力和视角（单位：）设定为对数关系：.如图，标准对数视力表中最大视标的视角为，则对应的视力为.若小明能看清的某行视标的大小是最大视标的（相应的视角为），取，则其视力用“分记录法”记录（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将代入，求出的值，即可得解.

【详解】将代入函数解析式可得.

故选：C.

8. 定义在上的奇函数，满足，则（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】由得出，再结合周期性得出函数值.

【详解】，，

即，，则

故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，在上单调递增的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据初等函数的性质逐项判断可得正确选项.

【详解】函数在上单调递减，A错，

函数在上单调递增，B对，

函数上单调递增，C对，

函数在上单调递减，D错，

故选：BC.

10. 集合也可以写成（    ）

A.  B.

C. 或 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.

【详解】对于集合，解不等式，即，解得，所以.

对于A选项，，故A正确；

对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；

对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；

对于D选项，等价于，故D正确.

故选：ABD

11. 定义在上的函数，若，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数，判断其为奇函数，由此可判断A,B的正误；判断函数为单调减函数，由此将变形，利用单调性，可判断C,D的正误.

【详解】据题意有：，故时奇函数，

又，故是单调递减函数，

则，故A正确；

，故B错误；

因为，则，

所以，

故，故C错D对，

故选：AD.

12. 已知 ，则（    ）

A 若 ，则

B. 若 ，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由条件，结合基本不等式判断各选项的对错.

【详解】∵ ，，

∴(当且仅当时等号成立)，A对，

∵ ，，

取，则，B错，

∵，，

∴，(当且仅当时等号成立)，C对，

∵，，

∴，

∴，D对，

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二倍角的正切公式计算即可.

【详解】因，

所以.

故答案为：

14. 写出一个同时具有下列三个性质函数：________.①；②在上单调递增；③.

【答案】或其他

【解析】

【分析】找出一个同时具有三个性质的函数即可.

【详解】例如，是单调递增函数，，满足三个条件.

故答案为：.（答案不唯一）

15. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】作出函数图象，进而通过数形结合求得答案.

【详解】问题可以转化为函数的图象与直线有3个交点，如图所示：

所以时满足题意.

故答案为：.

16. 已知函数，若在上是增函数，且直线与的图象在上恰有一个交点，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】由正弦函数的单调性以及图象的分析得出的取值范围.

【详解】因为在上是增函数，所以，解得

因为直线与的图象在上恰有一个交点，所以，解得，综上.

故答案为：

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 化简求值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据根式的性质，指数运算公式，对数运算公式化简计算；(2)根据诱导公式和同角关系化简.

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式.

18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边的锐角的终边与单位圆相交于点，已知的横坐标为.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义，直接求解；

（2）求出，再根据两角和的余弦公式求解即可.

【小问1详解】

设，由已知，，，

所以，

得.

【小问2详解】

由（1）知，，

所以

19. 已知，命题：，；命题：，.

（1）若是真命题，求的最大值；

（2）若是真命题，是假命题，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得，为真，令，只需即可求解.

（2）根据题意可得与一真一假，当是真命题时，可得或，分别求出当真假或假真时的取值范围，最后取并集即可求解.

【详解】解：（1）若命题：，为真，

∴则令，，

又∵，∴，

∴的最大值为1.

（2）因为是真命题，是假命题，所以与一真一假，

当是真命题时，，解得或，

当是真命题，是假命题时，有，解得；

当是假命题，是真命题时，有，解得；

综上，的取值范围为.

20. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）若，求的最值以及取得最值时相应的的值.

【答案】（1）   

（2）时，，时，

【解析】

【分析】（1）根据图像先确定，再根据周期确定，代入特殊点确定，即可得到函数解析式；

（2）将作为一个整体，求出其取值范围，进而求得函数最值，以及相应的x的值.

【小问1详解】

由图知，，

 ，即，

得， 所以，

又 ，所以， ,

即，由得，

所以.

【小问2详解】

由得 ，

所以当，即时，，

当，即时，.

21. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）．

（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？

【答案】（1）；2.4秒；（2）72（千米/小时）．

【解析】

【分析】

（1）由图，分别计算出报警时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离，，，，代入中即可，，利用基本不等式求最值；（2）将问题转化为对于任意，恒成立，利用分离参数求范围即可.

【详解】（1）由题意得，

所以．

当时，，

（秒）．

即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒．

（2）根据题意要求对于任意，恒成立，

即对于任意，，即恒成立，

由，得．

所以，即，解得．

所以，

（千米/小时）．

22. 已知图像关于轴对称．

（1）求的值；

（2）若方程有且只有一个实根，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据为偶函数，将等式化简整理即可得到的值；

（2）首先将方程化简为:，进而可得，令 ，则关于的方程只有一个正实数根，先考虑的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证即可，最后根据各种情况讨论的结果写出的取值范围的并集即可.

【详解】(1)因为为偶函数，所以

即，∴

∴，∴

 (2)依题意知:

∴由得

令，则①变为，只需关于的方程只有一个正根即可满足题意

(1)，不合题意

(2)①式有一正一负根，则  经验证满足，

(3)若①式有两相等正根，则，此时

若，则，此时方程无正根

故舍去

若，则，且

因此符合要求

综上得:或.