湖南省怀化市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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考试时长：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 设复数 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 ，集合 ，则 的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
3. 在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 某同学 8 次考试的数学成绩从低到高分别为 85，87，89，90，92，93，94，96，则这组成绩的 75%分位
数为（ ）
A. 88 B. 93 C. 93.5 D. 94
5. 河水 流速为 ，一艘小船想沿垂直于河岸方向以 的速度驶向对岸，则小船实际航行的速度
大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面 ，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 设 为复数，若 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A B.
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C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每个小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某学校举行的数学史知识答题比赛，对参赛的 名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布
直方图，其中分组的区间为 ，若同一组中数据用该
组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 这 人成绩的中位数为 分
B. 这 人成绩的众数约为 分
C. 这 人成绩的平均分约为 分
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 的样本，则成绩在区间 应抽取 人
10. 已知事件 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 与 互斥，则
C. 若 ，则 与 相互独立 D. 若 与 相互独立，则
11. 如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为 4，杯底的直径为 2，杯高为 4，当杯底水
平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入 37 颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶
恰好充满水杯，则（ ）
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A. 该水杯侧面积为 B. 该水杯里牛奶的体积为
C. 放入的椰果半径为 D. 该水杯外接球的表面积为
三、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡相应横线上．
12. 在正方体 中， 与 所在直线所成 异面角的大小为______．
13. 抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，每枚骰子的四个面上分别印有“ ”，“ ”，“ ”，“ ”四个数字．分别
查看底面上的数字，则两个数字之和等于 的概率为______
14. 已知 O 为 的外心，满足 ，若 的最大值为 ，则 ______．
四、解答题：共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 与 夹角余弦值为 ，求 的值．
16. 2025 年 6 月 10 日，“2025 年湖南·怀化屈原爱国怀乡诗歌文化推广季暨传统龙舟赛”在溆浦县盛大开幕．此
次活动吸引了 35 支龙舟赛参赛，线上线下观众达数十万人．怀化市某校乘势举行纪念爱国诗人屈原的挑战
赛，比赛设置了三道题，三道题的分值依次为 1，2，3 分，每个挑战者按题目顺序依次答题，答错不停止
挑战，直至答完三道题．同学甲三道题答对的概率分别为 ，且每道题的答题互不影响．
（1）求同学甲得 0 分的概率；
（2）若得分不低于 4 分可获得挑战赛纪念品，求同学甲获得纪念品的概率．
17. 在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， 分别为棱 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的正弦值．
18. 如图， 平面四边形 中， ．
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（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）求四边形 面积 S 的最大值．
19. 祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．
意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积
都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．
（1）现有以下三个几何体：半径为 R 的半球，底面半径和高均为 R 的圆锥与圆柱，体积分别记为
，判断 三者之间的关系，并说明理由；
（2）如图，过半径上一点 A，且平行于半球犬圆（过球心 平面与球面相交所形成的圆）的平面将半球分
割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”，已知半球的半径为 R，当点 A 为半径中点时，求截得的“球
缺”的体积；
（3）《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，
圆柱的侧面与正方体侧面相切）的公共部分组成的几何体为“牟合方盖”．显然，正方体的内切球也是“牟
合方盖”的内切球．若正方体棱长为 6，求“牟合方盖”体积．
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