湖南省怀化市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省怀化市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 已知集合，则， 命题“”的否定为， 已知函数是幂函数，则函数是， 已知，则的大小关系为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，，可得或，即
故.
故选：A.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】由全称命题的否定知，
的否定为，
故选：D
3. 已知函数是幂函数，则函数是（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数
【答案】D
【解析】由题意可知
由题意可知定义域为，定义域关于原点对称，
当，为增函数，
x∈0,+∞，为减函数，
所以在上不是增函数也不是减函数，
又因，则是偶函数.故选：D
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，，
所以
故选：A.
5. 我们已经知道物质的原子个数为，你知道整个宇宙可观测原子个数是多少吗？据估计，整个宇宙可观测原子个数大约为.下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为
所以，与最接近的是，
故选：C
6. 函数是定义在上的减函数，且，则解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因，由，得或，
又因函数在R上单调递减，故可得或，
即的解集为.
故选：B.
7. 函数定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，不等式恒成立，
当，显然成立；
当时，由，解得，
综上，，
故选：A
8. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上单调，且在区间上值域为，则称区间是函数的一个“优美区间”，则下列函数中存在“优美区间”的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由区间定义知，假设各函数存在“优美区间”，
A中在单调递增，，得，不存在“优美区间”；
B中时，函数单调递增，即，无解，
时，函数单调递增，同理无解，不存在“优美区间”；
C中当时，在递增，无解；
当时，在0,+∞递减，，
时，区间是函数的一个“优美区间”，例如；
D中显然，所以，∴fx在递增，无解，不存在“优美区间”.
故选：C
二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个图象中，是函数y=fx图象的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】根据函数的定义，对定义域内任意一个，都有唯一一个实数与之对应，
结合图象可知，ACD符合函数定义，B不符合函数定义，
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “”是“”的充要条件
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ABD
【解析】对于A：当时，；由解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于B：由，可得则，可得；
而当时，，即由“”推不出“ ”，
故“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对于C：若，因时，无意义，
故“”不是“”的充分条件，即C不正确；
对于D：若，当时，不成立；
若，当时，不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确.故选：ABD.
11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的解集为
C. 若，则
D.
【答案】BD
【解析】对于A：取，故A错误；
对于B：因为，
可得，
又因为，即，可得，即，故B正确；
对于C：若，则，
又因为，则，
当时，；
当时，；
综上所述：，故C错误；
对于D：设，则，
所以，
当时，，
可得，
故当时，成立；
当时，则，
可得，
故当时，成立；故D正确；
故选：BD.
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上.
12. 函数的最小值是_____.
【答案】6
【解析】由题意可知，故，
当且仅当时取等号，
即函数的最小值是6，
故答案为：6.
13. 已知均是正实数，且，则__________.
【答案】
【解析】由可得（*），
因将（*）代入，可得即得，
由，得.
故答案为：.
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则函数对称中心为__________.
【答案】
【解析】由，
知函数定义域，
令，由，
知函数定义域为，关于原点对称，
又，
是奇函数，即是奇函数，
函数对称中心为，
故答案为：
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）若，求及；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）当时，
故，；
（2）由题意知
①当时，则，即，此时
②当时，即，
因为，所以，故
综上知，
16. 已知关于的二次函数.
（1）若的解集为或，求的值；
（2）若函数在上具有单调性，求的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
解：（1）∵fx>0的解集为或，
和1是方程的根，
，解得.
（2）函数图象的对称轴方程为，
在上具有单调性，
或，解得或，
（3）原不等式化为
当，即时，不等式化为，则解集为；
当，即时，解得，不等式的解集为；
当b-1>1，即时，解得，不等式的解集为；
综上，当时，解集为，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
17. 已知函数.
（1）证明函数y=fx为偶函数；
（2）判断函数y=fx在0,+∞的单调情况，并用函数单调性的定义进行证明；
（3）解关于的不等式.
（1）证明：由题意可知的定义域为，定义域关于原点对称，
而，
故函数为偶函数；
（2）证明：函数上y=fx在0,+∞单调递增，
任取，且，
因为，
所以，则函数y=fx在0,+∞的单调递增；
（3）解：令，
则，
所以为偶函数，所以等价于
由（1）和（2）可知
且在0,+∞上单调递增，在上单调递减
所以，解得
18. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息：
（1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式；
（2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）；
（3）第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）.
（参考值：）
解：（1）当时，设，将代入得，
解得，此时，；
当时，设且，将､（1，1代入得，
解得，此时，.综上：.
（2）当时，，解得
当时，，即
而，故
药效时间
所以，药效时间2.81小时.
（3）完成第二次注射药物1小时后每升血液中第一次注射药物的含量，
每升血液中第二次注射药物的含量：，
所以此时两次注射药物后的药物含量为：0.52毫克.
19. 若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的上凸函数；若恒有（当且仅当时等号成立），则称函数是区间上的下凸函数.上述不等式可以推广到取区间的任意个点，即若是上凸函数，则对任意，恒有（当且仅当时等号成立）；若是下凸函数，则对任意恒有（当且仅当时等号成立）.
应用以上知识解决下列问题：
（1）判断函数在上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
（2）利用（1）的结果证明：对任意，都有，当且仅当时等号成立；
（3）设，其中且，则当，求最小值.
（1）解：是上凸函数，理由如下：
任意取
当且仅当时等号成立，
而
即，当且仅当时等号成立，故是上凸函数.
（2）证明：由（1）知是上凸函数，
对任意恒有，
即
又在上增函数
（*）
当且仅当时等号成立
将不等式（*）中替换成
所以.
（3）解：
利用不等式（*）可得,
当且仅当，即时等号成立,
所以当时，取得最小值.