湖南省怀化市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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温馨提示：
（1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为 120 分钟，满分 150 分．
（2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
（3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．
一、单项选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线 焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ．若 ，则 的值为（ ）
A. B. 3 C. 或 3 D. 或 1
3. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 C： 的左右焦点分别为 ，P 为双曲线上一点且 ，则 ＝（
）
A. 2 B. 10 C. 2 或 10 D. 4 或 8
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平行六面体 中， ， ，
则 的长为（ ）
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A. B. 2 C. D. 6
7. 若 ，有 成立，则 k 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 设 分别是椭圆 C： 的左、右焦点，圆 与椭圆 C 在第一象限内的交点
为 ，延长 与椭圆 C 交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 如图，在棱长为 2 的正方体 中，E 为线段 中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 与 BE 是异面直线 B. 平面
C. D. 三棱锥 的体积为
10. 已知直线 与圆 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆 的半径为 3
B. 直线 恒过定点
C. 存 实数 ，使得直线 与圆 相切
D. 若 ，直线 被圆 截得的弦长为 3
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11. 已知函数 ，使得 有三个零点 ，且 ，则下
列说法正确的是（ ）
A. a 的取值范围为 B.
C. 若 ，则 D. 函数 在三个零点处的切线斜率的倒数之和
为 0
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，则 ______．
13. 曲线 在点 处的切线方程为_________．
14. 已知动点 在圆 O： 上，点 的坐标满足方程 ，则点 到直
线 的距离的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
15. 在△ABC 中已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 a 值．
16. 若数列 的首项 且满足 ．
（1）求证： 为等比数列；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若数列 ，求数列 的前 n 项和 ．
17. 如图 1，在直角梯形 中， ， ，点 D 为 PC 的中点．将
绕 AD 翻折使得 （如图 2 所示）构成一个四棱锥 ，此时棱 PC 的中点记为 E．在
四棱锥 中，
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（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的大小．
18. 已知椭圆 C： 的右焦点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过动点 H 作椭圆 C 的两条切线 HM，HN（M，N 为切点），恒有 ．
①求动点 H 的轨迹方程；
②动点 H 的轨迹曲线与 y 轴正、负半轴的交点分别为 Q，P，直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点（点 A 在 x
轴上方），设 ， ， 的面积依次分别是 ，求 的值．
19. 设函数 ，其中 ．
（1）若 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（2）若函数 恰有两个极值点，记为 ，且 ，求证： ．
（3）求证： ．