安徽省六安市一中2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 抛物线x2=－4y的准线方程为（ ）
A. x＝1B. x＝2C. y＝1D. y＝2
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的方程即可求出准线方程.
【详解】，
，
抛物线的准线方程为.
故选：C.
2. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列定义和双曲线关系可求得，由此可得渐近线方程.
详解】成等差数列，，又，
，即，，
双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
3. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到数列周期性，进而直接求解.
【详解】由题意：，，，，…
依次类推：.
所以.
故选：C
4. 函数的极小值点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点.
【详解】对函数求导得，.
令，则或.
若，则或；若，则.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
所以函数的极小值点是.
故选：C.
5. 现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（ ）（参考数据：）
A. 36小时B. 38小时C. 40小时D. 42小时
【答案】C
【解析】
【分析】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案.
【详解】记第n小时后细胞的个数为，则，
，故是首项为，公比为的等比数列，
故，
令，得，
则，故，
又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时.
故选：C
6. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围.
【详解】构造函数， 则，
由，得，故在上单调递减.
计算.
将变形为，即.
因单调递减，故，解得.
故选：C
7. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与该抛物线交于两点，记直线（为坐标原点）的斜率分别为，若，则（ ）
A. 144B. 148C. 152D. 156
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题意和斜率公式，求得，得到，求得的方程，联立方程组，求得的值，结合抛物线焦点弦的性质，即可求解.
【详解】由题意，设，，则，
即，，可得，，
因为，可得，解得，
直线AB的斜率，
又由抛物线，可得焦点，所以直线的方程为，
联立方程组，整理得，所以，
由抛物线的定义和焦点弦的性质，可得.
故选：B.
8. 如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上．点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则以下说法错误的是（ ）
A. B. 是等差数列
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点，根据抛物线定义列方程可判断A；根据两圆外切可得的关系，然后可证是等差数列，可判断B；根据是等差数列求出可判断C；利用裂项相消法求和可判断D.
【详解】由题意可知：焦点，设点，则的半径为，
则，解得，故A正确；
因为与外切，则，
整理可得，且，可得，即，
可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确；
则，即，
则，C正确；
因为，
所以，
所以，D错误.
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
10. 在圆锥曲线（包括椭圆、双曲线和抛物线）中，曲线上任意一点到焦点的连线段称为焦半径.则下列选项正确的为（ ）
A. 椭圆以焦半径为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆相内切.
B. 双曲线以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆相外切.
C. 抛物线以焦半径为直径的圆与轴相切.
D. 抛物线以焦半径为直径圆与准线相切.
【答案】AC
【解析】
【分析】设椭圆的方程为，分别是椭圆的左右焦点，计算可求得两圆心之间的距离为圆半径之差判断A；分在左右两支上结合双曲线的定义计算可判断B；设点点坐标为，计算可得为直径的圆的半径为，可判断D.
【详解】对于A，设椭圆的方程为，分别是椭圆的左右焦点，
作出以线段为直径的圆和以长轴为直径的圆，如图所示．

设中点为，连结，∴是的中位线，可得，
即两圆的圆心距为，|根据椭圆的定义，可得，
所以圆心距，
即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以为直径的圆与以长半轴为直径的圆相内切．故A正确；
对于B，设以实轴为直径圆的圆心为，其半径，
线段为直径的圆的圆心为，其半径为，
当在双曲线左支上时，，

所以，所以，所以两圆内切．
当P在双曲线右支上时，，

所以，所以，
所以两圆外切．故B错误；
对于CD，抛物线的焦点的坐标为，设点点坐标为，
则以为直径的圆的圆心是，
根据抛物线的定义与到直线是等距离的，
所以为直径的圆的半径为，因此以为直径的圆与轴相切，故C正确，D错误.
故选：AC.
11. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等差数列
C. 数列是等差数列D. 数列的前100项的和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用递推公式求得可判断A；当（）时，可得，可判断B；求得，当（）时，求得，进而计算可判断C；，可得，可求数列的前100项的和.
【详解】因为，所以，
，，故A正确；
当（）时，，
，两式相减得，，
所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，故B正确；
当（）时，.
当（）时，，
，两式相减得，，
所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，
所以当时，.
综上，.
因为，所以不是等差数列，故C错误；
，
所以，
所以
，
所以数列的前100项的和为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：裂项相消法是数列求和的一种常见方法，熟练掌握裂项公式是基础.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的运算法则，求得，令，得到关于的方程，即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得，即，解得.
故答案为：.
13. 如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 ，杯深 ，称为抛物线酒杯. 在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的最大值为_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据圆的方程、抛物线方程以及两点的距离公式建立不等式求解.
【详解】由题可知，设抛物线方程为，
因为，所以，
解得，所以抛物线方程为，
在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，
设玻璃球截面所在圆的方程为，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，
即，则有恒成立，可得，
解得，所以玻璃球的半径的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.
14. 如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________．
【答案】63
【解析】
【分析】设得到是严格递增的正整数数列以及满足条件的差分数列序列为：，再根据结合等差数列求和公式即可求解．
【详解】设，则，
根据“快速增长数列”定义，可得，
则是严格递增的正整数数列．
为使最大，需让数列增长最慢，则满足条件的差分数列序列应为，
即差分数列为公差为1，首项为2等差数列，
所以当
，
所以，则，
当时，，
当时，
∴正整数k的最大值为63．
故答案为：63．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段PB、的中点．
（1）求直线EF与平面夹角的正弦值；
（2）求点F到面PAC的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算可得；
（2）求出平面法向量，利用点到平面的距离公式求解可得.
【小问1详解】
因为平面，平面，所以，
又底面是正方形，则，
可以建立如图所示以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，则有，
令，即，设直线EF与平面夹角为，
所以；
【小问2详解】
，，
因为，，
所以是平面的一个法向量，
则点F到面PAC的距离为．
16. 设数列的首项为常数，且．
（1）证明：是等比数列；
（2）若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在；成等差数列.
【解析】
【分析】（1）将递推公式代入化简即可得证；
（2）利用（1）中结论求出数列的通项公式，根据等差中项列方程求解即可.
【小问1详解】
证明：
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
【小问2详解】
因为，所以数列的首项是，
所以，则，
若中存在连续三项成等差数列，则必有，
即，
整理得：，即，
因为，所以，所以必为偶数，
所以，解得：，所以成等差数列.
17. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导，对参数分类讨论即可.
【小问1详解】
若，则，，所以，，
故在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
因为，且，
当时，时，时，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减；
当时，时恒成立，故在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在、上分别单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在、上分别单调递增，在上单调递减．
18. 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前n项和；
（3）设，求数列的前22项和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别令，，然后联立方程求出和，然后可得通项公式；
（2）利用错位相减法求解即可；
（3）根据下标分类求出的通项，然后分组求和即可.
【小问1详解】
设的公差为，令，得，故，即①，
令，得，故，
故，即②，
由于，联立①②解得，故.
【小问2详解】
令，
则③，
④，
由③-④得：，
即，所以．
【小问3详解】
由题意可知：，
当时，，则，
当时，，则，
当，，则，
所以
，
因此．
19. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
（1）求曲线K的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；
（3）若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）8
【解析】
【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，
（2）联立直线l与抛物线，求出的值，又，设出OP的方程，再联立抛物线求出的值，再求出，得出的值；
（3）由于D、E在y轴上，设出D、E坐标，并求出，P点的横坐标即为的高，再求面积的最小值即可．
【小问1详解】
由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为，
【小问2详解】
设直线l的方程为，
联立，消y得，
∴，∴，

设，∴,
又，
∴
∵，∴设直线OP的方程为，
联立，消y得，
∴，∴，∴，
令，则，∴，∴，
∴，
故的值为，
【小问3详解】
设，
直线PD的方程为，
又圆心到PD的距离为1，即，
整理得，
同理可得，
所以，可知b，c是方程的两根，
所以，，

依题意，即，则，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时上式取等号，
所以面积的最小值为8．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．