安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试卷（Word版附解析）

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满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 两条平行直线与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两条平行直线的距离公式计算即可.
【详解】直线的方程化为，则与间的距离
.
故选：D.
2. 设直线的方程，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求直线的斜率，再根据余弦函数的值域和直线斜率的范围可求倾斜角范围.
【详解】由直线的方程，可得其斜率，
依题意，直线的倾斜角满足，且，
结合正切函数的图象，可得.
故选：C
3. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案.
【详解】双曲线C：的渐近线方程为，
因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线，
即，
解得，
所以双曲线方程为：，
所以虚轴长为，
故选：D．
4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案.
【详解】由，，而且，
则
，
显然，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ）
A.
B. －1
C. 0
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解.
详解】
记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆，相切时，斜率k最小，
设：，则，解得或(舍)，
当直线过点时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为1，因此，
故选：A．
6. 已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中点坐标公式，可求得点的纵坐标，再代入椭圆方程，得到点的横坐标；
根据两点距离公式，可分别求得的长，即可得到答案.
【详解】设点，由题意可知：，所以，
所以，因为线段的中点在轴上，
所以由中点坐标公式可知：，所以，
代入椭圆方程得：，所以点，
则，，
所以.
故选：A.
7. 若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先求出点关于直线对称的点，再数形结合有求最小值.
【详解】设点关于直线对称的点为，
则，解得，即，
圆的圆心为，半径为1，
则，
当且仅当P、、B、C四点共线，且B在线段上时取得最小值，为
故选：D
8. 设椭圆与双曲线离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得，
因此，由，得，
则，即，，
所以的取值范围是.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知直线，直线，则（ ）
A. 直线可以与轴平行B. 直线可以与轴平行
C. 当时，D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可.
【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确；
当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确；
若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误；
若，则，解得，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则或1
B. 的最小值为2
C. 点到的两条渐近线的距离的乘积为
D. 若，则A，B两点位于的两支
【答案】BC
【解析】
【分析】A根据双曲线的定义和性质可解；B根据双曲线的性质判断；C根据点到直线的距离公式化简；D联立方程组，根据韦达定理判断.
【详解】，双曲线的右支上到左焦点的最短距离为，
因，故点在双曲线的左支，
由双曲线的定义可知，，则，故A错误；
的最小值为，故B正确；
双曲线的渐近线方程为，
设，则，
则点到的两条渐近线的距离的乘积为，
故C正确；
由题意可知，，设，
联立，得，
则，，
故A，B两点位于的同支上，故D错误.

故选：BC
11. 在平面直角坐标系内，动点P到两定点，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称
B.
C. 当点P位于B点处时，最大
D. 点P到x轴的最大距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设，根据得，以替换、替换，方程不变可得选项A正确；令得可得选项B错误；利用余弦定理结合题目条件得，当且仅当时等号成立，由点P位于B点处时满足此条件可得选项C正确；利用面积的两种表示形式可得选项D正确.
【详解】设，则，
由得，即.
A.以替换得， ，方程不变，曲线C关于y轴对称，
以替换得，，方程不变，曲线C关于x轴对称，
选项A正确.
B.令得，，即，或（舍），
解得，即，故，选项B错误.
C.由题意得，，.
，当且仅当时，.
在方程中令得，故.
当点P位于B点处时满足，有最小值，
由在上为减函数可得此时最大，选项C正确.
D.设点P到x轴的最大距离为，则，即，
由选项C得当时，，取得最大值，最大值为，
所以，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查曲线与方程综合问题，解决选项C的关键是利用基本不等式分析出取到最小值时，结合余弦函数的单调性可得结论正确.解决选项D的关键是利用面积转化点P到x轴的距离，根据三角形面积最大值距离最大即可得到结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的一个方向向量为，且过，则直线的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率，
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
故答案为：.
13. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，根据函数的最值得到答案.
【详解】点和点分别为椭圆的中心和左焦点，则，
设 ，
则
，
当时，函数最大值为，当时，函数最小值为 .
故答案为：
14. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________.

【答案】##
【解析】
【分析】连接，，设，表示出，，再由双曲线的定义得到，再在中利用余弦定理得到、的关系，即可得解.
详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线.
所以，
又由知，所以，
故，所以.
可设，则，.
由于
，故.
从而，，故，.
在中，由余弦定理得，解得，
所以.

故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知圆C：，直线l：．
（1）求证：直线过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程以及最短弦长．
【答案】（1）证明见解析
（2）直线的方程为，最短弦长为
【解析】
【分析】(1)参数提出来，即可求出定点；
(2) 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，由得直线的斜率,即可求出直线方程，此时根据弦长公式即可得到最短弦长.
【小问1详解】
直线的方程可化为，由，解得，所以直线恒过定点.
【小问2详解】
圆的圆心，半径，
令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，即，
圆心到直线的距离为，最短弦长为
所以当的方程为时最短；，最短弦长为.

16. 已知椭圆．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）直接根据椭圆的离心率公式得答案；
（2）由可得椭圆方程为：，再设直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆弦长的解法，利用韦达定理化简可求直线方程.
【详解】（1）椭圆．化为标准方程：，
椭圆长半轴长为，短半轴长为b，
．
（2），斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，
设斜率为1的直线l的方程为，且、，

，
椭圆C的方程为：，
由，消去y得，
，解得，
有，，
，
解得，即，
直线l的方程为．
17. 如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面所成角为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质得到，从而得到平面，再由，得到平面，即可得证；
（2）法一：建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得到方程，求出即可；法二：依题意平面，设为平面与平面的交线，则即可证明，，从而得到为平面与平面所成角，再由面积比计算可得.
【小问1详解】
平面，平面，
又，，平面，平面
平面．
又，平面，又平面
平面平面．
【小问2详解】
法一（坐标法）：如图，以为原点，、、过点且垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则．
设平面的法向量为，则可取，
取平面的法向量为．
设平面与平面所成角为则，
两边平方经整理可得解得或（舍去），
当平面与平面所成角为时，
法二（几何法）：如图，由，平面，平面，
所以平面，设为平面与平面的交线，则
由（1）可得平面，，平面，所以，
而，，又，
为平面与平面所成角，
，所以是的角平分线，
在中，设点到的距离为，则由
可得，
18. 在平面直角坐标系中， 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过原点的直线与曲线C交于两点，点在曲线上，且，直线与轴轴分别交于两点.
（i）设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；
（ii）求面积的最大值.
【答案】（1）（）
（2）（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据直线斜率之积的条件列出等式，化简得到曲线方程；
（2）（i）通过设点坐标，利用直线垂直的斜率关系和曲线方程求出直线与斜率的关系；
（ii）先求出直线的方程，进而得到的坐标，从而计算出的面积，再利用均值不等式求面积的最大值.
【小问1详解】
已知点，动点，可得直线斜率，直线的斜率，
因为直线与的斜率之积为，所以，
化简可得： ，即，
所以曲线的方程为；
【小问2详解】
（ⅰ）方法一：设，则，因为直线的斜率，
又，所以直线的斜率，设直线的方程为，由题意知，
由，可得，
所以，因此，
由题意知，，所以，
所以直线BD的方程为，
令，得，即，可得.
所以，即，因此存在常数使得结论成立.
方法二：设，直线的方程，
则，
又因为，所以，
联立方程组，得，则，
直线的方程为，
令，得，即，
所以，因此存在常数使得结论成立.
方法三：由方法二得：，，直线AB的方程，
直线的方程，
令，得，所以，
因此存在常数使得结论成立.
（ⅱ）直线的方程，令，得，即，
由（ⅰ）知，可得的面积为，
因为，当且仅当时等号成立，
此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.

19. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且
（1）求的方程;
（2）直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且
（i）求证：直线l过定点;
（ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系.
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，，可求得双曲线方程；
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，与双曲线联立方程组，由根与系数的关系可得，，结合已知可得或，可得定点坐标；（ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：求得点的坐标，进而可得直线AQ的斜率，结合已知，可证结论.
【小问1详解】
设双曲线的焦距为2c，则，且，解得，，
所以，所以的方程为：；
【小问2详解】
（ⅰ）设直线l的方程为，，，，
联立与，消去y，得，
所以，，
由，得，
整理得，
所以，
整理得，所以或，
当时，直线l的方程为，过点，不符，故舍去；当时，直线l的方程为，过点，
所以直线l过定点；
（ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：
因为，所以直线OP方程为：，
又直线BD方程为：，联立与，
解得，，即，
因为，所以直线AQ的斜率为，由，
得直线BD的斜率，所以