2024-2025学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若函数f(x)的导函数f′(x)存在，且limΔx→0f(1−Δx)−f(1)2Δx=4，则f′(1)=( )
A. −2B. 2C. −8D. 8
2.直线l1：ax+y−1=0，l2：(a−2)x−ay+1=0，则“a=3”是“l1⊥l2”的( )条件．
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3.已知双曲线x2a2−y2=1a>0的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. y=± 5xB. y=± 55xC. y=± 3xD. y=± 33x
4.已知定点B(2,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是( )
A. x2+y2=1B. (x−1)2+y2=1
C. (x+1)2+y2=1D. (x−12)2+y2=1
5.点A是曲线y=32x2−lnx上任意一点，则点A到直线y=2x−1的最小距离为( )
A. 55B. 510C. 2 55D. 5
6.已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，若3a4，a8，5a6成等差数列，则S10a5+a6=( )
A. 1219B. 114C. 314D. 21136
7.若直线l与两函数f(x)=1+lnx、g(x)=ex−1的图象都相切，则该直线的斜率为( )
A. 0或1B. 1或1eC. 1或eD. 1e或e
8.已知F( 2,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且△OFP外接圆的面积为2π3，则椭圆C的短轴长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
A. 常数列既是等差数列，又是等比数列
B. 等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C. 数列{an}的前n项和Sn=2−3n，则{an}是等比数列
D. 等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q>1
10.已知动点P在直线l:x+y−6=0上，动点Q在圆C:x2+y2−2x−2y−2=0上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有( )
A. 直线l与圆C相交B. PQ的最小值为2 2−2
C. 存在P点，使得∠APB=π2D. 直线AB过定点2,2
11.下列不等关系中正确的有( )
A. 20242025>20252024B. e−1.1>ln0.9
C. ln0.90)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于M，N两点，直线NF2与双曲线的另一交点为P，若△NPF1为等腰三角形，且△NF1F2的面积是△PF1F2的面积的3倍，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{Snn}是以1为公差的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=2n⋅an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A(x1,y1)为抛物线上一点，且|AF|=x1+1，直线AF与抛物线交于另一点B，点C在抛物线的准线上，且BC/​/x轴．
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标为2，求直线AB的方程；
(3)求证：直线AC过定点，并求该定点坐标．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x52−53ax32．
(1)若f(x)在区间[0,4]上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为−23，求实数a的值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x24+y22=1，点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
(1)若椭圆上点P满足PF2⊥F1F2，求|PF1|的值；
(2)定点T(t,0)在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当|ST|取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数t的取值范围；
(3)设椭圆的左右顶点分别为A1、A2，过P(1,0)的直线交椭圆于点M、N(异于A1、A2)，设直线A1M、A2N的斜率分别为k1、k2，求k1k2的值．
19.(本小题17分)
已知函数y=f(x)的定义域为I，设x0∈I，曲线在点(x0,f(x0))处的切线交x轴于点(x1,0)，当n≥1时，设曲线在点(xn,f(xn))处的切线交x轴于点(xn+1,0)，依次类推，称得到的数列{xn}为函数y=f(x)关于x0的“N数列”，已知f(x)=2x−ln(x+1)．
(1)求证：f(x)的图象与x轴有两个交点；
(2)若g(x)=f′(x)，{an}是函数y=g(x)关于a0=−34的“N数列”，记bn=lg2|2an+1|．
①证明：数列{bn}为等比数列，并求其通项公式；
②记cn= n−1(n+1)lg2(−bn)，(n∈N∗)，证明：c1+c2+…+cn0，y1+y2=4m，y1y2=−4，
又由y1+y2=4，得m=1，
所以AB方程为x=y+1，即x−y−1=0；
(3)证明：由(2)知：y1+y2=4m，y1y2=−4，因为A(x1,y1)C(−1,y2)，
所以AC方程为y−y2=y1−y2x1+1(x+1)，
即：y=y1−y2x1+1x+y1−y2x1+1+y2，
又因为x1=my1+1，所以y1−y2x1+1+y2=y1+x1y2x1+1=y1+(my1+1)y2x1+1=y1+y2+my1y2x1+1=4m−4mx1+1=0，
所以直线AC经过原点，即直线AC恒过定点(0,0)．
17.(1)f′(x)=52x32−52ax12=52x12(x−a)，
因为f(x)在区间[0,4]上单调递增，所以f′(x)≥0在[0,4]上恒成立，
只需a≤xmin=0，即实数a的取值范围是(−∞,0]．
(2)令f′(x)=0，得x=0或x=a，
①当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0,4]单调递增，
所以f(x)min=f(0)=0≠−23，不合题意，舍去；
②当0