高考物理一轮复习单元综合训练专题25 竖直面内的圆周运动（2份，原卷版+解析版）

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一、常见绳杆模型特点：
（一）绳（轨道内侧）类竖直面内圆周运动
【例1】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则（ ）

A．当地的重力加速度为
B．轻质绳长为
C．当时，轻质绳的拉力大小为
D．只要，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
【答案】BD
【详解】AB．设绳长为L，小球运动到最高点时，对小球受力分析，由牛顿第二定律得
解得绳子上的拉力由图像可得斜率解得，故A错误，B正确；
C．当时，由图像和拉力表达式得轻质绳的拉力大小为故C错误；
D．当时，轻质绳的拉力大小为当时当小球运动到最低点时速度为，根据动能定理可知最低点，根据牛顿第二定律得解得
故D正确。故选BD。
【例2】某教师受儿童娱乐场过山车与彩色滑道项目的启发，设计了如图所示的实验装置，竖直放置的光滑曲线轨道AM、水平轨道MN与光滑圆轨道O在M点平滑连接，在B点安装有压力传感器并与计算机连接（B为圆轨道的最高点），已知圆O的半径为R。一质量为m的小物块从距水平轨道高h处的A点无初速度滑下，经过圆轨道O后到达水平轨道MN，压力传感器显示小物块经过B点时对轨道的压力大小为。下列说法正确的是（ ）
A．
B．小物块滑过M点时加速度大小
C．减小h，小物块经过B点时对轨道的压力增大
D．减小h，小物块经过M点和B点时对轨道的压力差一定减小
【答案】B
【详解】A．物块从A点运动到B点的过程，由机械能守恒定律得在B点由牛顿第二定律得又解得故A错误；
B． 物块从A点运动到M点的过程，由机械能守恒定律得，M点有
解得；故B正确；
CD．减少h，小物块经过M点和B点时的速度减小，由牛顿第二定律表达式可知，B点轨道弹力减小，经过M点和B点时压力差为可见，压力差恒定不变，故CD错误。故选B。
（二）杆（管）类竖直面内圆周运动
【例3】如图1所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图2所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）

A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．若小球质量不变，换用更长的轻杆做实验，图2中a点的位置不变
D．时，在最高点杆对小球的弹力大小为3b
【答案】B
【详解】A．当小球的速度为零时，杆的弹力b等于小球的重力，即解得故A错误；
B．当时，杆的弹力为零，重力提供向心力，有解得故B正确；
C．由图2可知，时，杆的作用力为零，由知，L变大，a随着也变大，故C错误；
D．当时，根据牛顿第二定律得，则可知
故D错误。故选B。
【例4】如图所示，质量为4 kg、半径为0.5 m的光滑管状细圆环用轻杆固定在竖直平面内，A、B两小球的直径略小于管的内径，它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，A、B两球分别位于圆环最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56 N。则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（ ）

A．2 m/sB．4 m/s
C．6 m/sD．8 m/s
【答案】C
【详解】对A球，合力提供向心力，设环对A球的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA
代入数据解得FA＝28 N由牛顿第三定律可得，A球对环的力向下，大小为28 N。设B球对环的力为FB′，由环的受力平衡可得FB′＋28 N＋m环g＝－56 N解得FB′＝－124 N负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B球的力FB为124 N、方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有解得vB＝6 m/s故选C。
二、拱形桥和凹形桥模型特点
（三）拱形桥和凹形桥类竖直面内圆周运动
【例5】城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（ ）
A．小汽车通过桥顶时处于超重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【答案】C
【详解】ABC．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得
解得小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为物体处于失重状态，故AB错误，C正确；
D．由；解得故D错误。故选C。
【例6】如图所示为固定在竖直面内的半圆形轨道滑雪场，通过滑雪运动员的控制可以从半圆形场地的坡顶匀速率下滑到坡的最低点，则在运动员下滑的过程中，轨道对运动员的作用力（ ）
A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】A
【详解】运动员从半圆形场地的坡顶匀速率下滑到坡的最低点，运动员做匀速圆周运动，故运动员要受重力，支持力和摩擦力，运动员的向心加速度为可知a不变，设支持力与竖直方向夹角为，则
；轨道对运动员的作用力为N和f的合力，则所以下滑过程中，由于夹角减小，则增大，且a不变，所以轨道对运动员的作用力一直增大，故A正确，BCD错误。故选A。
【综合提升专练】
1．在天宫课堂中，在空间站里，航天员老师手拿细绳的一端，绳另一端系一个小球P，使小球在竖直面内做匀速圆周运动，小球的质量为m，绳长为L，小球所在处的重力加速度为g1，小球在t时间内转动了n圈，小球在最低点绳的拉力大小为F，小球在最低点绳和最高点绳拉力大小的差值为，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】AC．小球角速度根据牛顿第二定律联立解得
故A正确，C错误；
BD．小球在最高点，根据牛顿第二定律联立解得；
故B正确，D错误。故选AB。
2．如图所示，轻杆一端固定有质量为的小球，另一端安装在水平转轴上，转轴到小球的距离为1m，转轴固定在带电动机（电动机没画出来）的三角形支架上（支架放在水平地面上且始终保持静止），在电动机作用下，小球在竖直面内做匀速圆周运动。若小球的转速为n且运动到最高点时，杆受到小球的压力为2N（重力加速度g取），则（ ）
A．小球运动时需要的向心力大小为22N
B．小球运动的线速度大小为2m/s
C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力大小为18N
D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点
【答案】C
【详解】A．小球做匀速圆周运动，向心力大小不变，在最高点，杆对小球的支持力为2N，根据题意可得
故A错误；
B．根据解得故B错误；
C．小球运动到图示水平位置时，杆对小球水平方向的分力大小为18N，对支架水平方向由平衡条件可知地面对支架的摩擦力大小为18N，故C错误；
D．把杆换成轻绳，轻绳无法给小球支持力，同样转速的情况下，小球不能通过图示的最高点，故D错误。
故选B。
3．滑板运动是许多青少年最喜爱的极限运动之一，而360°绕圈滑行是每个滑板爱好者的终极挑战目标。一质量为50kg的极限滑板高手从弧形轨道O点滑下，紧接着滑上半径为5m的竖直圆形轨道。如图所示，A点为最高点，B点与圆心等高，C点为最低点，忽略所有摩擦，重力加速度大小取。下列说法正确的是（ ）
A．在圆形轨道上运动时，滑板高手受到重力、圆形轨道的弹力和向心力共三个力的作用
B．滑板高手至少从离地12m高度静止滑下，才能挑战成功，做完整圆周运动
C．若滑板高手从15m高度静止滑下，经过B点时对轨道的压力大小为2000N
D．若滑板高手从B点静止下滑到最低点C的过程中，重力的瞬时功率一直增大
【答案】C
【详解】A．在圆形轨道上运动时，滑板高手受到重力、圆形轨道的弹力两个力的作用，向心力是效果力，不能说受到向心力，故A错误；
B．想让滑板高手做完整圆周运动，则在A点满足则从开始到A点满足
解得故B错误；
C．若滑板高手从15m高度静止滑下，则从开始到B点满足则在B点满足
解得由牛顿第三定律知，经过B点时对轨道的压力大小为2000N，故C正确；
D．滑板高手从B点静止下滑到最低点C的过程中，开始时重力的功率为零，到最低点时速度方向沿水平方向，则重力的功率也为零，故重力的瞬时功率先增大后减小，故D错误。故选C。
4．如图所示，用长度为l的轻杆拴着质量为m的小球（可视为质点），在竖直平面内做完整的圆周运动，圆周上A点与圆心O等高，CD为圆的竖直直径，B是圆周上A、C之间的某点.重力加速度大小为g，不考虑空气阻力和一切摩擦.则小球做圆周运动的过程中（ ）
A．在圆周最高点时所受的向心力大小一定等于mg且处于完全失重状态
B．经过A点时，杆对小球的弹力方向一定竖直向上
C．经过B点时，杆对小球的弹力方向一定由B指向O
D．经过最低点D时，小球对杆的弹力方向一定竖直向下，大小至少为5mg
【答案】D
【详解】A．小球能过最高点的速度应满足当杆与小球间没作用力，有
得此时球处于完全失重状态，但当速度时，杆对小球有竖直向上的支持力N，小球的向心力为当时，杆对小球有竖直向下的拉力N，小球的向心力为由上分析可知，故A错误；
B．经过A点时，杆对小球的弹力提供小球所需向心力，所以杆对小球的弹力方向由A指向O，故B错误；
C．由A选项的分析可知，经过B点时，杆对小球的弹力方向不一定由B指向O，故C错误；
D．小球过最高点的最小速度为0，设小球过最低点的最小速度为v，由机械能守恒定律有
小球过最低点时，由牛顿第二定律得解得杆对球的最小拉力为由牛顿第三定律知小球对杆的弹力一定向下，大小至少为5mg，故D正确；故选D。
5．如图所示，半径为R的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内。某时刻，质量为1kg、直径略小于细圆管内径的小球A（可视为质点）从细管最高点静止释放，当小球A和细圆管轨道圆心连线与竖直方向夹角为37°时，小球对轨道的压力大小为（ ）（）
A．38NB．40NC．42ND．44N
【答案】D
【详解】以小球为对象，根据动能定理可得解得根据牛顿第二定律可得解得根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为。
故选D。
6．如图所示，光滑斜面与水平面成α角（α=30°），斜面上一根长为l=0.30 m的轻杆，一端系住质量为0.2 kg的小球，另一端固定在O点，现将轻杆拉直至水平位置，然后给小球一沿着平板并与轻杆垂直的初速度v0=3.0 m/s，g=10 m/s2，则（ ）
A．此时小球的加速度大小为30 m/s2
B．小球到达最高点时杆的弹力沿斜面向上
C．若增大v0，到达最高点时杆子对小球的弹力一定增大
D．若增大v0，到达最高点时杆子对小球的弹力可能减小
【答案】C
【详解】A．小球做变速圆周运动，在初位置加速度不指向圆心，将其分解，切向加速度为
向心加速度为故此时小球的加速度为合加速度故A错误；
B．从开始到最高点的过程，根据动能定理，有解得考虑临界情况，如果没有杆的弹力，重力沿平行斜面的分力提供向心力，有解得可以得到v2小于v1，说明杆在最高点对球是拉力，故B错误；
CD．在最高点时，轻杆对小球的弹力是拉力，故如果初速度增大，则最高点速度也增加，故拉力F一定增加，故C正确，D错误。故选C。
7．如图所示，已知质量为m的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为0
B．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为
C．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力为0
D．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力大小为
【答案】AD
【详解】AB．若小球和O点间用细线相连，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，此时小球有最小速度，由重力提供向心力，可知，此时在最高点细线对小球的拉力为0，A正确，B错误；
CD．若小球和O点间用轻杆相连，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，此时小球恰好为0，小球所需向心力为0，小球沿半径方向的合力为0，可知，此时在最高点轻杆对小球的支持力大小为，C错误，D正确。故选AD。
8．如图所示，杂技演员做水流星表演时，用一绳系着装有水的小桶在竖直平面内绕O点做圆周运动，整个运动过程中水没有流出。已知小桶内水的质量为m，O点到水面的距离为L，水面到桶底的距离为0.1L，小桶直径远小于L，重力加速度大小为g。则小桶转到最低点时水对桶底的压力大小可以为（ ）

A．6mgB．6.25mgC．6.1mgD．6.05mg
【答案】BCD
【详解】整个运动过程中水没有流出，则在最高点最小速度时，最靠近圆心那一层水刚好没有流出，设此时角速度为，则有可得设最低点桶和水运动的角速度为，从最高点到最低点的过程，根据机械能守恒有在最低点根据牛顿第二定律有联立解得根据牛顿第三定律可知小桶转到最低点时水对桶底的压力至少为。故选BCD。
9．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为的磁性圆轨道竖直固定，质量为的小铁球视为质点在轨道外侧转动，、两点分别为轨道上的最高、最低点。铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，重力加速度为，不计摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（ ）

A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能守恒
C．铁球在点的速度一定等于
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为
【答案】BD
【详解】AB．铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，其中铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与运动的方向垂直，所以磁力和支持力都不能对小铁球做功，只有重力对小铁球做功，小铁球的机械能守恒，在最高点的速度最小，在最低点的速度最大。小铁球不可能做匀速圆周运动。故A错误，B正确；
C．小铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，在最高点轨道对小铁球的支持力的方向可以向上，小铁球的速度只要大于即可通过最高点，不一定等于，故C错误；
D．由于小铁球在运动的过程中机械能守恒，所以小铁球在最高点的速度越小，则机械能越小，在最低点的速度也越小，可知小铁球在最低点时需要的向心力越小。而在最低点小铁球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下、只有磁力的方向向上。要使铁球不脱轨，轨道对铁球的支持力一定要大于，所以铁球不脱轨的条件是：小铁球在最高点的速度恰好为，而且到达最低点时，轨道对铁球的支持力恰好等于；根据机械能守恒定律，小铁球在最高点的速度恰好为，到达最低点时的速度满足轨道对铁球的支持力恰好等于，则磁力与重力的合力提供向心力，即联立解得可知要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为，故D正确。故选BD。
10．图a为安装在自行车车胎内侧打气嘴处的气嘴灯，图b为其内部结构图，轻弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物会向B端移动，当固定在重物上的触头M与固定在B端的触头N接触时，LED灯就会发光。忽略重物运动过程中的摩擦，则（ ）
A．安装时A端比B端更靠近车轮圆心
B．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
C．增大弹簧的劲度系数可使LED灯在较低转速下也能发光
D．车轮匀速转动时，若气嘴灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
【答案】AB
【详解】A．若M、N两触头接触，重物应该做离线运动，所以A端应该靠近圆心，故A项正确；
B．灯在最低点时有解得所以增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，故B项正确；
C．由之前的分析可知，在最低点有又因为整理有可知当增大弹簧的劲度系数，相同情况下，重物受到的弹力不变，但弹簧的形变量减小，所以触头M、N则不能接触，所以增大弹簧的劲度系数不能LED灯在较低转速下发光，故C项错误；
D．灯在最低点时，有灯在最高点时匀速行驶时，，在最低点时弹簧对重物的弹力大于在最高点时对重物的弹力，因此匀速行驶时，若LED等转到最低点时能发光，则在最高点时不一定能发光，故D项错误。故选AB。
11．图1是某体操运动员在比赛中完成“单臂大回环”的高难度动作时的场景：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动员运动到最高点时，运动员与单杠间弹力大小为F，运动员在最高点的速度大小为v。其F-v2图像如图2所示，g取10m/s2。则下列说法中正确的是（ ）
A．此运动员的质量为50kg
B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9m
C．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小跟重力大小相等
D．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小为428N，方向向下
【答案】BD
【详解】A．对运动员在最高点进行受力分析，由图2可知对运动员受力分析可得
解得故A错误；
B．由图2可知，当此时重力通过向心力，根据牛顿第二定律可得
解得故B正确；
CD．在最高点速度为4m/s时，运动员受到单杠的弹力的方向向下，根据牛顿第二定律可得
解得方向竖直向下，故C错误，D正确。故选BD。
12．如图甲所示，安徽某游乐园中有着世界最高、最快的立环过山车。将游乐园中的过山车及轨道简化为如图乙所示的模型，过山车（可视为质点）先以的速度经过半径为的圆弧轨道最低点A，后无动力地冲上半径为的圆弧轨道最高点B。已知A、B两点间的高度差为，过山车中某乘客的质量为，不计阻力，取重力加速度大小，则（ ）

A．过山车经过B点时的速度大小为
B．过山车经过A点时对该乘客的作用力大小为
C．过山车经过B点时该乘客受到的合力大小为0
D．过山车经过B点时对该乘客的作用力大小为
【答案】BD
【详解】A．过山车从A到B过程，据机械能守恒定律可得解得，A错误；
B．过山车经过A点时，由牛顿第二定律得解得乘客受到的支持力大小为，B正确；
CD．过山车经过B点时，据牛顿第二定律可得解得乘客受到的支持力大小为
则该乘客受到的合力大小为200N，C错误，D正确。故选BD。
13．如图所示，有一半圆形曲面固定于地面上。一质量为m的小球（可视为质点）静止于曲面最高位置A点，由于受到轻微扰动，小球由静止沿曲面向右侧滑动，控制小球与曲面之间的摩擦因数，使其运动至曲面上B点时恰好脱离曲面，最终落在水平地面上C点（未画出）。已知曲面半径大小为5m，AO与OB之间夹角为60°，g=10m/s2。则（ ）
A．小球运动至B点速度大小为5m/s
B．小球运动至B点速度大小为
C．小球运动至C点速度大小为
D．小球落地位置C点到圆心O点之间的水平距离为
【答案】ACD
【详解】AB．小球运动至曲面上B点时恰好脱离曲面，说明此时曲面对小球的支持力为0，则
小球运动至B点速度大小为，A正确，B错误；
C．根据机械能守恒小球运动至C点速度大小为，C正确；
D．小球从B到C的运动过程中，水平方向竖直方向位置C点到圆心O点之间的水平距离为联立得，D正确。故选ACD。
14．如图1所示，用细线将一质量m=100g的小球悬挂于倾角为θ的光滑斜面上的O点，小球保持静止。当给小球一个平行于斜面方向且与绳垂直的水平初速度v0时，小球将在斜面内绕O点做圆周运动，而线中张力的大小将周期性变化，与O点连接的传感器检测到张力的最小值为F。若改变初速度v0，则张力最小值F亦随之改变，其关系图线如图2所示，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，则下列判断中正确的是（ ）

A．斜面的倾角θ=53°B．斜面的倾角θ=37°
C．细线的长度为0.75mD．细线的长度为0.25m
【答案】BD
【详解】当小球运动到最高点时细线拉力最小，在最高点有小球由最低点运动到最高点的过程，根据动能定理，有联立可得结合图线可得；
解得；故选BD。
15．学习了圆周运动知识后，某兴趣小组受到启发，设计了一个自行车限速报警装置，如图所示，该限速报警装置固定在车轮边缘，套在轻杆上的重物下端与轻弹簧相连，上端固定有两个用导线相连的触点，当车轮的转速达到一定值时，重物会沿半径向外运动，使各触点接触，电路导通，蜂鸣器发出警报声，提醒骑行者减速，以保证安全，忽略一切摩擦，下面说法正确的是（ ）

A．重物向外运动是因为它受到离心力的作用
B．发出警报时，重物运动的角速度与车轮转动的角速度相同
C．报警器运动到最高点时，弹簧的弹力大于重物的重力
D．若自行车前进的速度大小为v，则车轮最高点的速度大小为2v
【答案】BD
【详解】AB．自行车轮转动时重物一起做圆周运动，重物和车轮的角速度相等，当速度达到一定值时合力不足以提供向心力而做离心运动，弹簧被拉长，使得电路接通，而不是受到了离心力，故A错误，B正确；
C．报警器运动到最高点时合力竖直向下，所以重力大于弹簧的弹力，故C错误；
D．车子以速度v前进，是指轮心相对地面往前走，车子底部与地面接触点相对地面的速度为零，其实轮心相对地面向后转，相对轮心的速度为-v，轮子上各点相对轮心的速度大小都一样，都是v，而轮子的最高点相对轮心向前转，轮心也向前走，车轮最高点相对地面的速度为2v，故D正确。故选BD。
导练目标
导练内容
目标1
绳（轨道内侧）类竖直面内圆周运动
目标2
杆（管）类竖直面内圆周运动
目标3
拱形桥和凹形桥类竖直面内圆周运动
轻绳模型
轻杆模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界特征
FT＝0，即mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)
v＝0，即F向＝0，
此时FN＝mg
模型关键
(1)“绳”只能对小球施加向下的力
(2)小球通过最高点的速度至少为eq \r(gr)
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0
拱形桥模型
凹形桥模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向上，也可能等于零
弹力向上
受力示意图
力学方程
临界特征
FN＝0，即mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)
模型关键
①最高点:，失重；
②，汽车脱离，做平抛运动。
①最低点：，超重；
②，v越大，FN越大。