高考物理一轮复习单元综合训练专题27 探究向心力大小的表达式（2份，原卷版+解析版）

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教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
1.实验目的：
探究向心力与物体的质量、转动的角速度、转动的半径之间的定量关系。
2.实验思路：采用控制变量法探究
(1)使两物体的质量、转动的半径相同,探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系;
(2)使两物体的质量、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟转动的半径的定量关系;
(3)使两物体的转动半径、转动的角速度相同,探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。
3.实验器材：
向心力演示仪,见下图。
当转动手柄1时,变速塔轮2和3就随之转动,放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处,短臂挡板就推压球,给球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用,短臂向外时,长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧,使测力部分套管7上方露出标尺8的格数,便显示出了两球所需向心力之比。
4.进行实验：
(1)安装并调试向心力演示仪:在滑槽静止时,旋动两测力部分标尺的调零螺母,使两套管的上沿都与标尺顶端对齐。
(2)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球转动的角速度之比分别为1∶1、1∶2和1∶3,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
(3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使半径之比为2∶1;调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
(4)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上,使两球的转动半径相同,调整塔轮上的皮带,使两个小球的角速度相同,分别读出两球所需的向心力大小,将结果填入设计的表格。
分析与论证:
(1)分析表格,发现F跟ω的二次方成正比。
(2)分析表格,发现F跟r成正比。
(3)分析表格,发现F跟m成正比。
5.实验结论:
物体做圆周运动需要的向心力跟物体的质量成正比,跟半径成正比,跟角速度的二次方成正比。
【例1】用下图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图所示是探究过程中某次实验时装置的状态。
（1）在探究向心力的大小F与半径r关系时，要保持不变的是 （填选项前的字母）。
A．和r B．和m C．m和r D．m和F
（2）图中所示是在探究向心力的大小F与 （填选项前的字母）。
A．质量m的关系 B．半径r的关系 C．角速度的关系
（3）若图中标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为，则与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为 （填选项前的字母）。
A． B． C． D．
【答案】 B C D
【详解】（1）[1]本实验采用控制变量法，探究向心力的大小F与半径r关系时，应保持小球的质量m和角速度不变。故选B。
（2）[2]由于皮带连接的两个变速塔轮半径不同，从而两个小球运动的角速度ω不同，因此该过程探究向心力的大小F与角速度的关系。故选C。
（3）[3]根据可知两小球旋转的角速度之比由于塔轮用皮带连接，皮带不打滑，边缘的线速度相等，根据可知故选D。
新高考的改进创新实验
1.传感器测量法
【例2】如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体的质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置，做匀速圆周运动的圆柱体放置在水平光滑圆盘上，力传感器测量向心力Fn，速度传感器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力Fn与线速度v的关系。

改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组Fn、v数据，如表所示。
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。
（1）作出Fn－v2图线 ；
（2）若圆柱体运动半径r＝0.2 m，由作出的Fn－v2图线可得圆柱体的质量m＝ kg（保留2位有效数字）。
【答案】 0.18
【详解】（1）[1]作出Fn－v2图线，如图所示。

（2）[2]根据Fn＝知图线的斜率k＝则有＝代入数据计算得出m≈0.18 kg
2.光电门测量法
【例3】一同学通过图甲所示的装置探究物体做圆周运动的向心力与质量、轨道半径及线速度的关系。滑块套在光滑水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小Fn。滑块上固定一遮光片，与固定在铁架台上的光电门一起可测量滑块的线速度v。该同学先保持滑块质量和半径不变，来探究向心力大小与线速度大小的关系。

（1）该同学用螺旋测微器测量遮光片的宽度d，示数如图乙所示，则d= mm。

（2）该同学通过改变转速测量多组数据，记录力传感器示数F，算出对应的线速度v及v2的数值，以v2为横轴，F为纵轴，作出F－v2图线，如图丙所示，若滑块运动半径r=0.2m，由图线可得滑块的质量m=
kg（保留2位有效数字）。

【答案】 1.732 0.13
【详解】（1）[1]螺旋测微器的最小分度是0.01mm，由固定刻度和可动刻度分别读数，所以
d=1.5mm＋23.2×0.01mm=1.732mm
（2）[2]力传感器示数等于滑块做圆周运动所受的向心力。根据题图丙可知图像的斜率
根据向心力公式Fn=m可得=k解得m=kr=×0.2kg≈0.13kg
圆锥摆测量法
【例4】如图所示为某课题小组设计的探究圆周运动向心力的实验装置。有机玻璃支架上固定一个直流电动机，电动机转轴上固定一个半径为的塑料圆盘，圆盘中心正下方用细线连接一个重锤，圆盘边缘连接细绳，细绳另一端连接一个小球。实验操作如下：
①利用天平测量小球的质量，记录当地的重力加速度的大小；
②闭合电源开关，让小球做如图所示的匀速圆周运动，调节激光笔2的高度和激光笔1的位置，使激光笔1射出的激光束竖直、激光笔2射出的激光束水平，并让激光都恰好照射到小球的中心，水平激光束与竖直细线的交点为；
③当小球第一次到达点看到反射光时开始计时，并记录为1次，最后记录小球次到达点的时间；
④切断电源，待小球停止转动，设法用刻度尺测量点到竖直激光束的距离和点到塑料圆盘的距离；
⑤改变质量、转速、绳长或半径等物理量，重启电源，如上所述反复多次实验，并记录相关数据。全部结束后，整理器材。
请回答下列问题：
(1)下列说法正确的是
A． 小球运动的周期为
B． 小球运动的线速度大小为
C． 小球运动的向心力大小为
D． 若电动机转速增加，激光笔1、2应分别左移、升高
(2)该小组换用较长的细绳连接同一个小球做第二次实验，调整转动的角速度，但使小球转动的半径保持不变。第二次实验跟第一次实验相比，角速度 ，小球做圆周运动所受的向心力 （均选填“变大”、“变小”或“不变”）。
(3)某次实验中，若已测出、，，，，取3.14，通过计算可知当地重力加速度大小应为 （结果保留3位有效数字）。
【答案】 BD 变小 变小 9.86
【详解】(1)[1] A．从球第1次到第n次通过A位置，转动圈数为n−1，时间为t，故周期为
故A错误；
B．小球的线速度大小为故B正确；
C．小球受重力和拉力，合力提供向心力，设线与竖直方向的夹角为α，则；
故故C错误；
D．若电动机的转速增加，则转动半径增加，故激光笔1、2应分别左移、上移，故D正确；故选BD。
(2)[2][3] 换用较长的细绳连接同一个小球做第二次实验，调整转动的角速度，但使小球转动的半径保持不变,设细绳与竖直方向的夹角为，用较长的细绳连接时角变小，对小球受力分析得；
联立可解得角变小时，向心力变小，角速度变小。
(3)[4]小球受重力和拉力，合力提供向心力，设线与竖直方向的夹角为α：
小球做圆周运动的周期T=2s，解得
单摆测量法
【例5】某同学用如图一所示的装置验证牛顿第二定律，拉力传感器固定在铁架台上，长l的细绳一端系在拉力传感器上，另一端栓接一个半径为r的小钢球，（小球经过最低点时，球心正好对准光电门）在小球静止的位置固定一光电门，小球静止时拉力传感器的示数为。将小球拉起一定的角度后由静止释放。小球摆动过程中拉力传感器的示数随时间变化的关系如图二所示，测出小球经过最低点时光电门的遮光时间小球经过最低点时，拉力传感器的示数为，已知重力加速度为g，试回答以下问题：

（1）小球运动过程中经过最低点时的加速度为 （用r、l、表小），
（2）小球的质量为 ；
（3）若小球在最低点受到的合力与质量和加速度满足关系式 ，即可验证牛顿第二定律在小球经过最低点时成立。
【答案】
【详解】（1）[1]小球经过最低点时的速度加速度
（2）[2]小球在最低点静止时有可知
（3）[3]小球运动到最低点有代入a、m的表达式可得
【综合提升专练】
1．在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图a所示。图b是演示器部分原理示意图：其中皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的2倍，两转臂上黑白格的长度相等。A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力，图（a）中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为m的球1和球2，质量为2m的球3.

（1）在研究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的 ；
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．演绎法
（2）探究向心力与圆周运动轨道半径的关系时，为了保证球的质量相同要选择球1和球2，为了保证转动的角速度相等，所以要实验时应将皮带与轮①和轮 相连；
【答案】 C ④
【详解】（1）[1]实验中涉及到多个物理量之间的关系，本实验探究向心力的大小F与质量m、角速度和半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的控制变量法。故选C。
（2）[2] 为了保证两球转动的角速度相等，且两球的角速度和对应塔轮的角速度也相同。根据皮带相连的塔轮边缘线速度相同，由可得，两侧塔轮的旋转半径要相同，所以实验时应将皮带与轮①和轮④相连。
2．某物理兴趣小组利用传感器进行“探究向心力大小F与半径r、角速度ω、质量m的关系”实验，实验装置如图甲所示，装置中水平光滑直杆能随竖直转轴一起转动，将滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平光滑直杆一起匀速转动时，细线的拉力提供滑块做圆周运动的向心力。拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。

（1）小组同学先让一个滑块做半径r为0.20m的圆周运动。得到图乙中②图线。然后保持滑块质量不变。再将运动的半径r分别调整为0.14m，0.16m，0.18m，0.22m，在同一坐标系中又分别得到图乙中⑤、④、③、①四条图线。
（2）本实验所采用的实验探究方法与下列哪些实验是相同的 。
A．探究平抛运动的特点
B．探究两个互成角度的力的合成规律
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
（3）对②图线的数据进行处理，获得了F﹣x图像，如图丙所示，该图像是一条过原点的直线，则图像横坐标x代表的是 。（用半径r、角速度ω、质量m表示其中一个或几个表示）
（4）对5条F﹣ω图线进行比较分析，做F﹣r图像，得到一条过坐标原点的直线，则该直线的斜率为 。（用半径r、角速度ω、质量m表示其中一个或几个表示）。
【答案】 C ω2 mω2
【详解】（2）[1]本实验所采用的实验探究方法是控制变量法，与探究加速度与物体受力、物体质量的关系实验方法是相同的，故选C。
（3）[2]②图线中各图线均为曲线，对②图线的数据进行分析可以看出，当ω增大为原来的2倍时，F增大为原来的4倍，当ω增大为原来的3倍时，F增大为原来的9倍……可知，F与ω2成正比，以F为纵轴，ω2为横轴，则图像是一条过原点的直线，故图丙图像横坐标x代表的是ω2。
（4）[3]由（3）中分析知在r一定时，F与ω2成正比；F-r图像又是一条过坐标原点的直线，F与r成正比；同时F也应与m成正比，归纳可知，F-r图像的斜率为mω2。
3．为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。某实验小组通过如图甲所示装置进行实验。质量为m滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动。力传感器通过细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小。滑块上固定一宽度为d的遮光片，光电门可以记录遮光片通过的时间，测得旋转半径为r。滑块随杆做匀速圆周运动，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和角速度ω的数据。

（1）为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量m和 保持不变，某次旋转过程中遮光片经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω= 。
（2）以F为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中作一条如图乙所示直线，试分析图线不过坐标原点的原因是 。
【答案】 旋转的半径r 滑块受到摩擦力
【详解】（1）[1]根据控制变量法，为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量和旋转的半径不变。
[2]物体转动的线速度为其中v = ωr则
（2）[3]图线不过坐标原点的原因是：滑块和水平杆之间有摩擦力，开始一段时间，摩擦力提供向心力，当摩擦力达到最大值后，才存在绳子拉力。
4．如图1所示是某同学验证“做圆周运动的物体所受向心力大小与线速度关系”的实验装置。一根细线系住钢球，悬挂在铁架台上，钢球静止于A点，光电门固定在A的正下方靠近A处。在钢球底部竖直地粘住一片宽度为d的遮光条，小钢球的质量为m，重力加速度为g，实验步骤如下：
（1）将小球竖直悬挂，测出悬点到钢球球心之间的距离，得到钢球运动的半径为R；用刻度尺测量遮光条宽度，示数如图2所示，其读数为 cm；将钢球拉至某一位置释放，测得遮光条的挡光时间为0.010s，小钢球在A点的速度大小v= m/s（结果保留三位有效数字）；
（2）先用力传感器的示数FA计算小钢球运动的向心力，FA应取该次摆动过程中示数的 （选填“平均值”或“最大值”），然后再用计算向心力；
（3）改变小球释放的位置，重复实验，比较发现F总是略大于，分析表明这是系统造成的误差，该系统误差的可能原因是 。
A．钢球的质量偏大
B．钢球初速不为零
C．存在空气阻力
D．速度的测量值偏大
【答案】 1.50 1.50 最大值 D
【详解】（1）[1]根据刻度尺数据可直接读出，读数为1.50cm。
[2]根据速度公式可得
（2）[3]因为只有力传感器的示数FA最大时，小球在最低点，此时才能满足
（3）[4]因为当速度测量值偏大时，F偏大，此时F才略大于，故选D。
5．如图所示，一长度为L的细线上端固定，下端悬挂一个质量为m的小球（视为质点），将画有几个同心圆的白纸置于悬点下方的平台上，其圆心在细线悬挂点的正下方。给小球一个初速度，使它恰能沿纸面上某个画好的圆做匀速圆周运动，即小球对纸面恰好无压力。不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）当小球做匀速圆周运动的半径为R时，理论上小球做匀速圆周运动所需的向心力大小为 。
（2）在实验中，小球沿半径为R的圆做匀速圆周运动，用秒表记录小球运动n圈所用的总时间t，则小球做匀速圆周运动所需的向心力大小为 （用m、n、t、R及相关的常量表示）。
（3）在第（2）问的基础上，保持n的取值不变，改变L和R进行多次实验，可获取不同的t。若以为纵轴，作出的图像为一条直线，则横轴是 （填“L2—R”或“”）。
【答案】
【详解】（1）[1]小球做匀速圆周运动所需的向心力等于小球所受重力和细线拉力的合力，则有
（2）[2]小球做匀速圆周运动所需的向心力大小
（3）[3]根据牛顿第二定律可得故与成正比。
6．用如图甲所示的向心力实验器，定量探究匀速圆周运动所需向心力的大小与物体的质量、角速度大小、运动半径之间的关系。如图甲，光电门传感器和力传感器固定在向心力实验器上，并与数据采集器连接；旋臂上的砝码通过轻质杆与力传感器相连，以测量砝码所受向心力的大小；宽为的挡光杆固定在距旋臂转轴水平距离为的另一端，挡光杆通过光电门传感器时，计算机可算出旋臂的角速度。
（1）在该实验中，主要采用 方法来探究向心力与质量、半径、角速度的关系。
A．控制变量法 B．理想实验法 C．微元法 D．等效替代法
（2）挡光杆某次经过光电门的挡光时间为，砝码做圆周运动的角速度大小为 （用表示）。
（3）以为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，若图像的斜率为，则滑块的质量为 （用表示）。
【答案】 A
【详解】（1）[1]探究一个物理量与多个物理量之间的关系时，需要用控制变量法。故选A。
（2）[2]根据题意可知，每次经过光电门时的速度为由公式可知，砝码做圆周运动的角速度大小为
（3）[3]根据题意，由公式可得结合图像有解得
7．某同学设计了如图所示实验装置探究向心力与质量、半径的关系。水平杆光滑，竖直杆与水平杆铰合在一起，互相垂直，绕过定滑轮的细线两端分别与物块和力传感器连接。（忽略细线与定滑轮间的摩擦）
（1）探究向心力与质量关系时，让物块1、2的质量不同，测出物块1、2的质量分别为、，使物块到竖直轴距离 （填“相同”或“不同”），转动竖直杆，测出不同角速度下两个力传感器的示数、。反复实验测出多组、，作出图像，如果作出的图像是过原点的斜线，且图像的斜率等于 ，则表明在此实验过程中向心力与质量成正比。
（2）该实验过程中采用的实验方法是 。
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
【答案】 相同 C
【详解】（1）[1]本题采用的是控制变量法，根据向心力公式研究F与m的关系，所以需要保持、r相同，所以应使物块到竖直轴距离相同；
[2] 根据向心力公式可得；作出图像，则如果作出的图像是过原点的斜线，且图像的斜率等于
（2）[3]该实验过程中采用的实验方法是控制变量法，故C正确，AB错误。故选C。
8．用如图所示的实验装置来验证向心力公式。匀质小球由轻绳a和b分别系于一轻质细木架上的A点和C点。当木架绕轴BC匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向、绳b在水平方向。两绳的A、C端分别安装有拉力传感器1、2，重力加速度为g，忽略空气的阻力，实验步骤如下：
A．实验之前，测得小球的直径为d，b绳的长度为l；
B．使木架绕BC轴匀速转动，并带动小球在水平面内做匀速圆周运动，记录转n圈对应的时间t；
C．读出拉力传感器1、2的示数分别为；
（1）小球的质量 ；
（2）做匀速圆周运动的周期 ；
（3）若 ，则向心力公式得到验证。（用、n、t、g、l和d表示）
【答案】
【详解】（1）[1]小球做匀速圆周运动时，竖直方向二力平衡，则有解得
（2）[2]做匀速圆周运动的周期
（3）[3]小球做匀速圆周运动所需要的向心力由绳b的拉力提供，轨迹半径再根据向心力公式求出向心力的值看两者是否相等，若，即则向心力公式得到验证。
9．某同学为探究做圆周运动物体“向心加速度的大小与角速度、半径的关系”，设计实验如图甲所示。调速电机可带动圆形转桌绕圆心O水平转动，固定在支架上的手机竖直放置，到圆心O的距离可以调节，手机随转桌一起转动时，两者始终无相对滑动。某次实验中先将手机固定在桌面上的M点，调节转桌的转速，利用手机软件测得手机绕O点转动时的多组向心加速度和相应角速度的大小并记录数据。以手机的向心加速度大小a为纵轴，以转桌的角速度大小为横轴建立平面直角坐标系，利用获得的数据在坐标系中描出的点如图乙所示。
（1）由图乙可知，当转桌转动的角速度大小为12rad/s时，手机绕O点转动的线速度大小为 m/s（结果保留3位有效数字）；
（2）利用图乙中描出的点，在图乙中画出关系图像 ；
（3）为直观得出向心加速度a与角速度的关系，利用原数据作出的图像如图丙所示。由图丙可知，本次实验中手机离圆心O的距离为 m（结果保留3位有效数字）；
（4）要验证“手机随转桌转动时的向心加速度大小与手机离圆心O的距离成正比”，需保持手机随转桌转动时手机的 不变。
【答案】 2.67 0.222~0.240 角速度/周期/频率
【详解】（1）[1]由乙图可知，当转桌转动的角速度大小为12rad/s时，向心加速度大小为，根据
可得
（2）[2]用平滑的曲线把点连接起来，如图所示
（3）[3]根据可知图像的斜率等于手机离圆心O的距离
（4）加速度与半径和角速度都有关系，要验证手机随转桌转动时的向心加速度大小与手机离圆心O的距离成正比，则采用控制变量法的实验方法，应该保持角速度不变，改变半径。因为角速度
故也可保持周期或者频率不变。
导练目标
导练内容
目标1
教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
目标2
新高考的改进创新实验
v/（m·s－1）
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fn/N
0.88
2.00
3.50
5.50
7.90