重庆市第八中学2025-2026学年度高三下学期周考（五）数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得：，所以.
2. 已知，且，其中a，b为实数，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即.
3.已知是奇函数，则实数的值为
A．B．C．0D．1
【答案】C
【解析】要使有意义，则，即，解得或.
所以函数的定义域为，关于原点对称.
.
因为，所以，
即，也即，
因为，所以 .
4.已知，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得：，解得：.
5.已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为
A．B．eC．D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为.
6.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为
A．个B．个C．个D．无公共点
【答案】D
【解析】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为，
设点，则，整理可得，
圆的圆心为原点，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，所以，，
故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点.
7.已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则
A．63B．127C．255D．256
【答案】C
【解析】由得，
又，易得，
两边同时取以为底的对数得，
即，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
8.在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】由得，
由正弦定理（为外接圆半径）得，，
因为，所以，
若，由余弦定理得，，所以为锐角，
则，即，由于，，则，
所以，矛盾.
故，即，所以，即，
又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号），
所以的最小值为4.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在正方体中，若点为底面的中心，则
A．平面B．
C．与A C所成的角为D．与平面A B C D所成的角的正切值为
【答案】ABD
【解析】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
所以，
又因为，所以选项正确：
取A C中点，所以，所以，又因为平面平面，所以平面选项正确；
设与A C所成的角为，，所以，所以与A C所成的角为，C选项错误；
设平面A B C D的法向量为，设与平面A B C D所成的角为，则，所以，所以，所以 D 选项正确．.
10.已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则
A．直线的斜率为B．为的平分线
C．的面积为D．H，M，P三点共线
【答案】ABD
【解析】抛物线的焦点为，准线为，
已知，所以的横坐标为，解得，
所以，解得，因此，
对于A，直线PF的斜率，故A正确；
对于B，是到准线的垂足，所以，又，，
所以FQ的斜率，故，
由得，所以，
所以为的平分线，故B正确；
对于C，QF的方程为，联立抛物线，
得，解得或（舍去），所以，
PF的方程为，
点到直线PF的距离,
面积，故C错误；
对于D，，，，
则，，斜率相等，
所以H，M，P三点共线，故D正确.
11.某省从全省遴选非遗代表性项目，并划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则
A．与对立B．
C．与相互独立D．
【答案】BD
【解析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，
则总的样本点总数为：，
对于A选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件与不对立，故A错误；
对于B，事件“甲体验指尖非遗”，分两种情况：
当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，所以样本点数为：，
当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，所以样本点数为：，
所以事件包含的样本点数为，
故，故B正确；
同理，，
对于C，事件表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论：
当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，此时的样本点数为：，
当甲只选“指尖非遗”，乙选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，此时的样本点数为：，
当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，此时样本点数为：1，
所以事件包含的样本点数为：，所以，
由于，
所以与不独立，故C错误；
对于D，，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为________.
【答案】81
【解析】因为二项式系数的和是16，所以，解得，令得展开式中各项系数的和为 .
13.若圆 上有四个不同的点到直线 的距离为 1,则实数 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】 .
14.已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为，
设，则，
当时，，
当时，
，
也满足，即，故，
所以，
因为数列的公差为，
所以，解得或，
若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去；
若，则，对任意的，，符合题意，
故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数．
(1)若，，，求的值；
(2)若偶函数与的图象关于直线对称，且在上单调递增，求的值.
【解析】（1）由题意得
，
当时，，而，则，
即，因为，所以，
此时，由同角三角函数的基本关系得，
而，
由两角和的正弦公式得
，故.
（2）因为与的图象关于直线对称，
所以，
因为是偶函数，所以当时，取得最值，
此时，解得，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，解得，
则当时，，此时符合题意 .
16.已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：0为的极小值点.
【解析】（1）易得的定义域为，
，
因为，故，令，可得，
故当时，单调递增，
当时，单调递减，
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：由题意可知，的定义域为，且，
设函数，则，
当时，，
可得，
故在区间上单调递增，又，即，
故当时，，即；当时，，即，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以0是的极小值点 .
17.如图，四棱锥中，底面A B C D为矩形，，侧面P B C为正三角形，且平面平面A B C D, E为棱P A上一点，，平面B C E交棱P D于点．
（1）求证：：
（2）当时，点关于平面B C E的对称点为，求平面Q A B与平面P C D所成角的余弦值.
【解析】
17．【解】（1）证明：面面P A D，故面P A D，又面面面B C E，故；
（2）设B C的中点为，连接P O，建立空间直角坐标系，如图所示：
.
当时，，设，
设平面B C E的一个法向量为，则，取，则，所以，
由题易知点到平面B C E的距离与点到平面B C E的距离相等，且，
即
即，且，解得或（舍去），，所以．
设平面Q A B的一个法向量为，又，则，取，所以．
设平面P C D的一个法向量为，则，
取，则，所以,
设平面Q A B与平面P C D所成角的平面角为，则．
故平面Q A B与平面P C D所成角的余弦值为．
18.在直角坐标系中，点，动点P在直线的左侧，且到直线的距离恒为，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设不经过F的直线l的方程为，已知l交C于M，N两点，且的值与m的值无关．
（i）求k的值；
（ii）是否存在实数m，使得?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，由已知，得，
所以，两边平方，化简得C的方程为．
（2）（i）设，，由（1）可知，，
所以，
由得，
所以，
且，，
因此，
因为的值与m无关，所以，解得（此时）．
（ii）若存在实数m符合题设，则，
所以，
因为，
所以，
在中，由正弦定理，得，
易知，且，所以，
所以，
所以，所以，即，
所以，即，
由（1）可知，所以，，
故，，从而l的方程为，
显然这与l不经过矛盾，所以不存在符合题设的实数m.
19.若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为．
（1）若是20项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
（2）已知且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量，其中，且．
（i）求取到最大值时的值：
（ii）求随机变量的分布列，并证明：.
【解析】（1）数列是 20 项数列，当且仅当时，；
当时，．
设数列所有项的和为，则．
（2）（i）因为数列是从集合中任意取出的两个数列，
所以，数列均为项数列，所以的可能取值有，根据数列中 0 的个数可得，集合的元素个数为，当时，数列中有 3 项取值不同，有项取值相同，
先确定有种情况，然后在中选取 3 项，这 3 项与的对应项的取值不同，
有种情况，则与的选择共有种情况，
数列是从集合中任意取出的两个数列，所有可能情况有种，
所以，
由，化简可得，解得，
则当时，取得最大值；
（ii）由（i）知集合中元素的个数为，
当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
先确定有种情况，然后在中选取项与对应项取值不同有种情况，
则与的选择情况共有种情况，
数列是从集合中任意取出的两个数列，所有可能情况有种，
所以随机变量的分布列为，
因为，
所以
，即.