重庆市第八中学校2025-2026学年高二下学期周考1数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 记 为等比数列 的前 项和. 若 ,则
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】 为等比数列 的前 项和, , 成等比数列，， ,.
2. 若函数 在 上可导,其导函数为 ,且函数 的图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是
A. 函数 有极大值 ,无极小值
B. 函数 有极小值 ,无极大值
C. 函数 有极大值 和极小值
D. 函数 有极大值 和极小值
【答案】A
【解析】函数 的图象如图所示,
时, 时, 时, .
所以 在 上单调递增, 上单调递减,
函数 有极大值 ,无极小值.
3.椭圆 的焦点为 ,与 轴的一个交点为 ,若 , 则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】在椭圆 中, ,
易知 ,又 ,所以 为等腰直角三角形,
即 ,得 ,即 .
4.设等差数列 的前 项和为 ,则公差 的取值范围是
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】由题可知 ,则 ,即 ,解得 .
5.若实数 满足 ,则曲线 与曲线 的
A. 实半轴长相等 B. 虚半轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
【答案】D
【解析】 ,则 ,双曲线 的实半轴长为 4,虚半轴长为 , 焦距为 ,离心率为 ,双曲线 的实半轴长为 ,虚半轴长为 ,焦距为 , 离心率为 ,因此, 两双曲线的焦距相等.
6.若函数 在区间 上单调递增,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 ,求导得 ,
依题意, ,即 ,
而函数 在 上单调递减,则 ,因此 ,
所以实数 的取值范围是 .
7.过三点 的圆交于 轴于 两点,则
A. B. 8 C. D. 10
【答案】C
【解析】因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ，所以 为直角三角形，
所以过三点 的圆的圆心 ,半径为 ,
所以过三点 的圆的方程为 ,
令 ,则 ,得 ,
所以 .
8.设直线 分别是函数 图象上点 处的切线, 与 垂直相交于点 ,且 分别与 轴相交于点 ,则 的面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 (不妨设 ),则由导数的几何意义易得切线 的斜率分别为 . 由已知得 切线 的方程分别为 ,切线 的方程为 ,即 . 分别令 得 . 又 与 的交点为 ，
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知抛物线 的焦点为 为坐标原点,点 在抛物线 上,若 , 则
A. 的坐标为 B.
C. D. 以 为直径的圆与 轴相切
【答案】BCD
【解析】对于抛物线 ,可得 ,且焦点在 轴正半轴上,则点 错误; 由抛物线的定义可得 ,可得 , B 正确;
由 可知, ,可得 正确;
的中点坐标为 ,则点 到 轴的距离 ,
以 为直径的圆与 轴相切, 正确.
10.已知函数 ，则
A. 在 单调递增
B. 有两个零点
C. 曲线 在点 处切线的斜率为
D. 是偶函数
【答案】AC
【解析】由 知函数的定义域为 ,
当 时, ,
故 在 单调递增, 正确;
由 ,当 时, ,
当 ,所以 只有 0 一个零点, B 错误;
令 ,故曲线 在点 处切线的斜率为 -1-ln2, C 正确;
由函数的定义域为 ,不关于原点对称知, 不是偶函数, D 错误.
11.设 的三边长分别为 的面积为 ,若 , ,则
A. B. 数列 是递减数列
C. 为递减数列 D. 为递增数列
【答案】ABD
【解析】对于 选项,因为 ,则 ,
所以, ,
又因为 ,所以, , A 对;
因为 ,且 ,
所以，数列 为等比数列，且其首项为 ，公比为 ，
所以, ,且 ,
所以，数列 为递减数列， 对；
对于 选项,由 可得 ,
因为 ,所以,数列 为摆动数列, C 错;
对于 选项， 的半周长为 ,
由海伦公式可得
所以， 为递增数列， 对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ,则 ________.
【答案】32
【解析】可知 .
13.等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则 _______.
【答案】 10
【解析】 因为 是等差数列, . 由 ,得 .
解方程,得 (舍)或 . 又 ,
即 ,即 ,解得 .
14.过双曲线 的左焦点 作 的一条切线,设切点为 ,该切线与双曲线 在第一象限交于点 ,若 ,则双曲线 的离心率是________.
【答案】
【解析】设双曲线 的右焦点为 ,半焦距为 ,取线段 的中点 ,因为 切圆 于 ,则 ,有 ,
因为 ,则有 ,
而 为 的中点,于是 即 ,
在 中， ，整理得 ，
所以双曲线 的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 (其中 ),且曲线 在点 处的切线垂直于直线 .
(1)求 的值及此时的切线方程；
(2)求函数 的单调区间与极值 .
【解析】(1) 由于 ,所以 ,
由于 在点 处的切线垂直于直线 ,
则 ,解得 .
此时 ,切点为 ,所以切线方程为 .
(2)由(1)知 ，则 ，
令 ,解得 或 (舍),
所以函数 的减区间为 ,增区间为 . 函数 的极小值为 ,无极大值 .
16.已知双曲线 的焦点在坐标轴上,且过点 ,其渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)是否存在被点 平分的弦? 如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1) 由双曲线 的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为 ,可设双曲线方程为 ,代入 ,可得 ,所以双曲线 的标准方程为 .
(2)假设存在被点 平分的弦，记弦所在的直线为 .
设 是弦 的中点，设 ,则 .
因为点 在双曲线 上,所以它们的坐标满足双曲线方程,即
两式相减得 ,
所以 ,
所以直线 的斜率 ,
所以直线 的方程为 ,即 .
联立直线 与双曲线方程得
消去 ,得 ,显然 ,
所以直线 与双曲线无交点,所以直线 不存在,故不存在被点 平分的弦 .
17.如图,四棱锥 中,底面 为菱形, 底面 , 是 上的一点, .
(1)证明 平面 ；
(2)设二面角 为 ，求 与平面 所成角的大小.
【解析】
(1) 以 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系 ,
设 ,则 ,
,
,
平面 .
(2) ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,
设平面 的法向量为 ,则 , 取 ,
平面 平面 ,故 ,
,
设 与平面 所成角为 ,则 ,
,
与平面 所成角的大小为 .
18.已知数列 的各项均为正数,其前 项和为 ,且 . 数列 满足 项和为
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1) 当 时,有 ,所以 ,得 ,
当 时,有 ,即 ,而 ,
两式作差,得 ,即 ,
化简得 ,
又 ,所以 ,
所以数列 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,所以 ;
(2)当 为偶数时，
,
所以 为偶数 ,
由 恒成立,得 ,
是偶数,当 时, 有最小值 ,所以 ;
当 为奇数时, 为偶数,
所以 为奇数,
由 恒成立,得 ,
又 在 上单调递增,
所以当 时, 有最小值 1,所以 .
综上,实数 的取值范围是 .
19.已知动圆 与圆 外切,同时与圆 内切,设动圆圆心 的轨迹是曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与曲线 交于异于 的 两点，且 .
①证明:直线 过定点；
②求 的面积的最大值.
【解析】(1) 由题意,圆 的圆心 ,半径为 ,
圆 的圆心 ,半径为 ,
因为 ,所以圆 和圆 为内含关系,
设动圆的圆心 ,半径为 ,则 ,
即 ,
所以圆心 的轨迹是焦点为 ,长轴长为 4 的椭圆,
即 , 则 ,故其轨迹方程为 .
(2)①由(1)知，椭圆 的方程为 ，设 ， ，
不妨令 在 轴上方,则 ,
假设直线 斜率不存在,设直线 方程为 ,联立方程 ,
可得
整理得到 ,解得 或 (舍去),所以直线 方程为 ;
假设斜率存在,设直线 方程为 ,
联立方程 ,得 ,
由 ,得 ,所以 ,
由 ,
,
,
,
解得 或 ,
所以直线 方程为 或 ,所以直线 恒过 或 (舍去)
综上,直线 恒过定点 .
②当直线 斜率为 0 时， 不存在
当直线 斜率不为 0 时,则设 方程为 ,联立 ,
消 得 ,则 ,
所以 ，
设 ,则 ,所以 ,
由函数 在 上单调递增,得到 ,
所以 ,当且仅当 ,即 时取等,
故 的面积的最大值为 .