重庆市第八中学2026届高三下学期入学考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份重庆市第八中学2026届高三下学期入学考试数学试卷含解析（word版+pdf版），文件包含重庆八中2026届高三下开学考数学试题解析版docx、重庆市第八中学校2025-2026学年度下高三年级入学考试数学答案pdf、重庆市第八中学校2025-2026学年度下高三年级入学考试数学pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知复数 ,则 的虚部为
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因为 ,所以复数 的虚部为 2.
2. 已知集合 ，若 ，则满足条件的实数 的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】因为 且 ,所以 ,又因为 ,所以 或 , 当 时, ,该情况不成立; 当 时, 或 : 若 ,则该情况不成立; 若 ,则 ,此时 满足 ,该情况成立; 所以满足条件的 的个数为 1 个.
3.已知学生每日有效学习时间和其数学成绩相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是
A. 每日学习时间长, 数学成绩就一定高
B. 每日学习时间长, 数学成绩就一定低
C. 随着每日学习时间由短到长, 数学成绩呈上升趋势
D. 随着每日学习时间由短到长, 数学成绩呈下降趋势
【答案】C
【解析】在成对数据的相关分析中,相关系数为正,表明两个变量之间存在正向关联。当自变量 (学习时间)的值由小变大时，因变量 (数学成绩)的值整体上呈现由小变大的趋势，但这并不意味着严格的因果关系或绝对对应,因此 两项说法过于绝对, 项与正相关含义相反.
4.在 中,若 ,设 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 为 的中点, 为 靠近 的三等分点
三点共线, ,故 .
5.设抛物线 的焦点为 ,过抛物线上点 作其准线的垂线,设垂足为 ,若 ,则
A. 5 B. 4C. D.
【答案】B
【解析】根据抛物线的对称性可设 在第一象限; 根据题意作图如下: 因为 ,所以 , 可得 ,即 ,故 , 故 .
6.已知 ,则
A. B. 14C. D. -14
【答案】A
【解析】 ,
,
.
7.若直线 是曲线 与曲线 的公切线,则
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】 与曲线 的导数分别为 . 设直线 与曲线 的切点为 ,所以切线方程为 ,即 . 因该切线为 ,故 ,解得 . 所以切线方程为 . 设直线 与曲线 的切点为 ,由 ,得 ,即 . 所以直线 与曲线 的切点为 . 曲线 过切点 ,解得 .
8.在平面四边形 中, 是边长为 的等边三角形, 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形,将该四边形沿对角线 折成四面体 ,在折起的过程中, 四面体的外接球表面积最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,设三棱锥 的外接球球心为 ,取 的中点 ,连接 ,
因为 是以点 为直角顶点的直角三角形,所以 的外接圆圆心是点 ,
则由球的性质可知, 平面 ,设外接球半径为 ,
是边长为 的等边三角形, 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形, ,
在 Rt 中勾股定理可知 ,则在 中利用余弦定理可得, , 则 ,得 ,所以 的最小值为 2,外接球表面积最小值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列 的前 项和为 ,且满足 , 则下列说法正确的有
A. 数列 为等比数列 B. 数列 为等比数列
C. 数列 为等差数列 D.
【答案】ACD
【解析】由 , 由 ,可得数列 是首项为 1 和公比为 2 的等比数列, 则 ,故 正确; 由 , 所以 为等差数列,故 正确; ,故 正确; 由 ,所以 ,故 错误.
10.正方体 的棱长为 2, 分别为 的中点, 为棱 上靠近 的三等分点,则下列正确的有
A. 沿正方体表面从 到 的最短距离为
B. 三棱柱 的体积为 2
C. 为 内的动点,则 最小值为
D. 是直线 上的动点, 是直线 上的动点,则 的最小值为
【答案】BCD
【解析】选项 ,若将正方体的面 与面 如下图所示展开, 则展开图中 ，故 错；
选项 ,所以
选项 ,因为 平面 ,且 到平面 的距离为 ,
则 关于平面 的对称点 为线段 靠近 的三等分点，
,所以 ,
,当且仅当 平面 时不等式取
等,故 对; 选项 ,以 为原点建立空间直角坐标系,
则 ,设直线 ,直线 公垂线的方向向量 ,则 令 ,则 , .
11.平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率, 表明曲线偏离直线的程度. 定义函数 的曲率函数 是 的导数， 是 的导数),以下结论正确的是
A. 函数 当且仅当在最值处的曲率为 1
B. 曲线 的图象上任一点曲率恒为常数
C. 函数 在点 处的曲率最大
D. 若函数 在 处的曲率相同，则
【答案】ABD
【解析】对于 ,已知 ,则 ,根据曲率函数 ,可得 ,令 ,则有 ,
由 代入有: ,
由 ,则有 ,即 ,
从而函数 当且仅当在最值处的曲率为 1,故 正确;
对于 ,不妨设 ,则有
,则函数 的曲率 , 故 正确;
对于 ,对于 ,则 ,
若 ,若 ,令 ,则 ,
令 ,
则 在 上递减, 上递增,故 在 处取最小值,故 错误;
对于 ,则函数 的曲率 ,依题意,有 ,
设 ,则 ,则 , 整理得 ,而 ,则 ,所以 , 解得 ,所以 ,则 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若角 顶点与原点重合,始边与 轴非负半轴重合,终边与单位圆交于点 ,且 ,则 ________.
【答案】
【解析】根据题意可得: ,解得 交点坐标为: 由三角函数的定义可得: ,又 .
13.已知 ,若存在 使得 ，则 的最大值为_______.
【答案】 39
【解析】由二项式定理:
,因此,展开式中 的系数为
若 ,则必有 ,即 为奇数。此时 .
由 得, ,即 . 注意到 ,故 .
不等式化为 . 由于底数 ,指数函数单调递增,等价于 ,
即 ,解得: . 又 为奇数,且 ,则满足条件的奇数 最大为 39 (因为 41>40不满足不等式). 因此， 的最大值为 39 .
14.甲、乙、丙、丁四名象棋选手进行单循环赛(每两人赛一场)，规定每局胜者得 2 分， 平局各得1分, 负者得 0 分。比赛结束后, 四人的得分各不相同, 且第二名的得分是最后两名得分之和的 。则在甲和乙的比赛结果为平局的概率为________.
【答案】
【解析】设四名选手的得分从高到低依次为 (且 )，总分为 。根据题意, . 令 ( 为正整数),则 。由总分得
由 得, .
因此 。结合 且得分各不相同,可得两组解:
1. ,得分集合为 ;
2. ,得分集合为 ;
①对于得分集合 ；有 4 种得分结果
5 分 (2 胜 1 平), 4 分 (1 胜 2 平), 2 分 (2 平 1 负), 1 分 (1 平 2 负);
5 分 (2 胜 1 平), 4 分 (1 胜 2 平), 2 分 (1 胜 2 负), 1 分 (1 平 2 负);
5 分 (2 胜 1 平), 4 分 (2 胜 1 负), 2 分 (2 平 1 负), 1 分 (1 平 2 负);
5 分 (2 胜 1 平), 4 分 (2 胜 1 负), 2 分 (1 胜 2 负), 1 分 (1 平 2 负);
每种得分结果中平局分别有: 3 局、 2 局、 1 局
②对于得分集合 ; 有 2 种得分结果
5 分 (2 胜 1 平), 4 分 (1 胜 2 平), 3 分 (1 胜 1 平 1 负), 0 分 (3 负);
5 分 (2 胜 1 平), 4 分 (2 胜 1 负), 3 分 (1 胜 1 平 1 负), 0 分 (3 负);
每种得分结果中平局分别有: 2 次、1 次
综上: 由对称性可知,甲和乙的比赛结果为平局的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,内角 的对边分别为 . 若 .
(1)已知 ，求三角形的三边长；
(2)若 为 中点，求 外接圆半径 .
【解析】(1) ,1 分
,2 分
,解得 或-2 ,3 分
又由题意知: 满足条件,
即为三角形的三边 .4 分
(2)
,6 分
即 或
或 ,8 分
当 时, 边最长,与条件 矛盾,故舍去; 9 分
当 时,则 ,又 解得:
,10 分
又 为 中点， ， 在 Rt 中， 11 分
设 的内切圆半径为 ,由正弦定理得 ,即
的外接圆半径为 . 13 分
16.已知数列 首项不为 0， ，则:
(1)若 且 ，则数列 前 10 项和为多少？
(2)是否存在实数 ，使得 成立？
【解析】(1)当 时， ，则 ，两边取倒数可得 ，
即为 ， 所以 ,
所以 6 分
(2)因为 ，所以 ，8 分 9 分
所以 . 10 分
若 恒成立,且 ,
则存在 ,使得 恒成立,
因为 的值变化,所以 ,
即当 时, 恒成立. 15 分
17.如图,圆台的下底面圆 的半径为 为圆 的内接正方形. 为上底面圆 上两点， 为 的中点，且平面 平面 ， .
(1)求证: ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角正弦值为 ，求线段 长度.
【解析】
(1)证明:取 的中点 ，连 交 于 .
在正方形 中,由于 为 的中点,
可得 ,则 ,
因为 ,所以 ,
得到 ,即 . 2 分
因为 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,故 . 3 分
由于平面 平面 ,平面 平面 ,
,故 平面 ,又 平面 ,则 .
因为 平面 ,所以 平面 , 5 分
又因为 平面 ,则 ,又点 是 的中点,故 . 6 分
(2)由于圆 的半径为 ，则正方形 的边长为2，又 ，则
以 为坐标原点,过点 作 平行的直线分别为 轴, 轴,所在的直线为 轴建立如图空间直角坐标系.
则 , 7 分
由于圆 半径 为上底面圆 上一点设 ,
故 .9 分
设平面 的法向量为 ,由 ,得
取 ,故 , 11 分
设 与平面 所成角为 ,则 12 分
平方后整理方程得
解得 或 (舍) 14 分
所以 . 15 分
18.已知 ,其中 .
(1)讨论 的单调性;
(2)已知 .
(i) 若 在 处的切线 经过坐标原点,求实数 的值与 的方程;
(ii) 对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 时， 在 上单调递减； 1 分
当 时, ,令 在 上单调递减, 上单调递增,故 在 上单调递减, 上单调递增; 4 分
法二: , 1 分
当 时， ， 在 上单调递减；2 分
当 时,当 时 ,故 在 上单调递减,当 上单调递增;4 分
(i) ,5 分
,由于切线 过坐标原点,故有 ,解得 , 7 分
此时切点为 ,故切线 的方程为 ; 8 分
(ii) ,令 , 9 分
由 知 ,现证当 时对任意的 . 恒成立. , 其为关于 的二次函数,开口向上,对称轴为 ,
① 当 即 时,要证 ,只需证 , 11 分
,令 ,注意到 ,
12 分
,由于 ,故 ,
所以 单调递增, ,所以 上 单调递减, 上 单调递增,所以 为 的极小值点,所以 ,
所以当 时,对任意的 均有 ; 15 分
② 当 即 时，要证 ，只需证其 ，
,显然 单调递增,
所以 , 故 ,
所以当 时,对任意的 也有 .
综上,当 时,对任意的 都有 ,所以 的取值范围为 . 17 分
19.已知 为坐标原点,动圆 过点 且与直线 相切.
(1)设圆 的圆心 的轨迹为曲线 ,求曲线 的方程；
(2)(i)过点 斜率为 的直线 与曲线 交于 两点，过 分别作曲线 的两条切线 ,记 与 的交点是 ,若 的面积为 32,求 的值;
(ii) 将 绕 轴旋转一周得到一个旋转体,求该旋转体体积的最小值.
【解析】(1) 设 ,动圆圆 的半径为 ,则 ,圆心 到直线 的距离 ,所以 ,化简得 ,所以曲线 的方程为 .3 分
(2)(i)设直线 方程为 ，设
联立 ,消去 得 ,
由韦达定理: ，5分
由方程 得 ,所以 ,
则抛物线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
在点 处的切线方程为 ,即 ,
联立 ，解得 ，所以 . 7 分
点 到直线 的距离 , 10 分
所以 ,所以 ，11 分
(ii) 设 关于 轴的对称点分别为 记以等腰梯形 绕 轴旋转一周得到的圆台体积为 , 以 为底面直径， 为顶点的圆积为 ，以 为底面直径， 为顶点的圆锥体积为 ， 所求旋转体体积为:
，14 分
所以 . 16 分
当 时取得 “ ”,既 时取得 “ ” 所以所求旋转体体积的最小值为 . 17 分