黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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2025～2026学年度高二年级第一学期期末考试 数 学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作
答 无 效 。
4.本卷命题范围：人教A 版必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册第二章、第三 章，选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1.数据3,5,7,10,13,15,18,20的第25百分位数是
A.5 B.6 C.7 D.17
2.若直线l 与直线x—√3y+1=0 垂直，则l 的倾斜角为
A. B C D
3.已知圆C₁ :(x—5)²+(y+3)²=16, 圆 C2:x²+y²—2x=0, 则这两圆的公切线的条数为 A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知变量x 和y 满足经验回归方程j=—0.78x+11.84, 且变量x 和y 之间的一组相关数据 如下表所示，则下列说法错误的是
A.m=5 B. 当 x=13 时 ，j=1.7
C. 变 量x 和y 呈负相关 D.该经验回归直线必过点(9,5)
5.在的展开式中，x⁵y² 的系数为
A.7 B.15
C.30 D.65
6.从由0,1,2,3,4所组成的无重复数字的三位数中随机抽取一个数，则该数为偶数的概率为 A B C D
【高二期末考试 · 数学第1页(共4页)】 26一X—301B
扫 描 全 能 王 创 建
x
5
6
9
12
y
8
7
m
2.4
7.美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首 次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A,B,C,D,E 五名志愿者中选派四人分别从事宣传、 后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A,B 只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工 作，则不同的选派方案共有
A.24 种 B.36 种
C.60 种 D.120 种
8.已知抛物线C:y²=2px(p>0) 的焦点为F, 准线为l, 过 F 的直线交C 于 A,B(A 在 B 的上
步
方)两点，过A,B 两点分别作l 的垂线，垂足分别为A₁,B₁, 若 则 p=
A B C D.6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在一次随机试验中有两个随机事件A 和 B, 若 4 ,则
A. B.若 A 与 B 互斥，则
D. 若A 与 B 相互独立，则
10. 已知X 为一个随机变量，则
A.若 ,则E(3X+2)=10,D(3X+2)=16
B. 若 X～N(0,1), 且 P(X≤-1)=p, 则
C. 若 X 服从两点分布，且P(X=0)=p, ,则
D. 若随机变量Z 的分布列为则
11.已知双曲线 (a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F₁,F₂, 点 P 为双曲线C 右支上 一点，若存在点P, 使得△PF₁F₂ 为等腰直角三角形，则下列说法正确的是
A. 双曲线C 的离心率为 √ 2+1
B. △PF₁F₂ 外接圆的面积的最小值为b²π
C.x 轴与△PF₁F₂ 的内切圆的公共点为定点
D. 设 点I 是△PF₁F₂ 的内心，则直线IF₁,IF₂ 的斜率之比为常数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若 C=C², 则 r= _ ·
13.进人冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的A₁,A₂ 两个区分别有5%,6%的 人患了流感，已知A₁,A₂ 两区的人口数的比为4:6,则从这两个区中任意选取一个人，若这 个人患流感，则此人来自A₁ 区的概率为
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14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、 推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲 线 C:x²+y²=2|x|+2|y| 就是一条形状优美的曲线，若T(a,b) 是曲线C 上任意一点，则 |4a+3b—18| 的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分13分)
某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查， 调查结果如表所示：
(1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有 关联；
(2)从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率.
附 ,n=a+b+c+d.
16. (本小题满分15分)
已知圆心在直线x+y-1=0 上的圆 C 过A(2,2) 和 B(一1,5)两点.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)过直线y=2x—6 上一 点P 作圆C 的切线PE,PD, 切点分别为E,D, 求四边形PECD 面积的最小值.
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满意
不满意
合计
大一或大二
20
20
40
大三或大四
40
20
60
合计
60
40
100
a
0.1
0.05
0.01
T。
2.706
3.841
6.635
17. (本小题满分15分)
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1200元，此作物的市场价格和这块地上的产 量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
(1)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列和期望；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于1600元的 概率.
18. (本小题满分17分)
已知椭圆 的离心率为 ,上顶点B 的坐标为(0,1).
(1)求C 的方程；
(2)已知M 为C 上一点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N, 若点S 满足NS=3NM, 当点 在
C 上运动时，求点S 的轨迹方程；
(3)过(一1,0)的直线l 与椭圆C 交 于P,Q 两点，0为坐标原点，直线OQ与椭圆的另一个 交点为G, 若△PQG 的面积,求直线l 的方程.
19. (本小题满分17分)
2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设 强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民” 的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种(顾客只能选择其中的 一种).
方案1:从装有4个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球. 每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元(即总共优惠400元);
方案2:从装有4个红球，3个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，不放回地依次摸出 3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠； 其余情况无优惠.
(1)已知顾客A 选择抽奖方案2,若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)已知顾客B 恰好消费了500元，
(1)若他选择抽奖方案1,求顾客B所获得的优惠金额的分布列和期望(结果精确到整数位);
(i) 试从顾客B 所获得的优惠金额的期望值分析顾客B 选择何种抽奖方案更合理.
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作物产量与概率
作物市场价格与概率
作物产量(kg)
300
600
作物市场价格(元/kg)
4
8
概率
概率
2025～2026学年度高二年级第一学期期末考试 ·数学 参考答案、提示及评分细则
1.B 因 为 8 × 2 5 % = 2 , 所 以 该 组 数 据 的 第 2 5 百 分 位 数 是 数 据 从 小 到 大 排 列 后 第 2 个 数 据 与 第 3 个 数 据 的 平 均数，即故 选B.
2.C 由 直 线x—√3y+1=0, 即 ,知直线的斜率为. 因为直线l 与 直 线x—√3y+1=0 垂直，所 以 直 线l的 斜 率 ,设直线l 的倾斜角为α,则 tan a=-√3,又 a∈(0,π), 所 以 . 故选C.
3.C 由 题 意 知 圆C₁ 的圆心为(5, — 3),半径n=4, 圆 C2 的圆心为(1,0),半径r₂=1, 所以两圆的圆心距d=
√(5-1)²+(-3-0)²=5=r₁+r₂, 所以两圆相外切，所以这两圆的公切线的条数为3条 . 故选C.
4.D 对 于A, 因 为 变 量 x 和 y 满 足 经 验 回 归 方 程 = - 0 . 7 8x+11.84, 又 ,解得m=5, 故 A 正确；对于B, 因 为 变 量x 和
对 于D, 由 选 项A 知 ，x=8,y=5.6, 该经验回归直线必过点(8,5 . 6),不 一 定过样本点，故D 错 误 . 故 选D.
5.A 在 (x-y)⁷ 的 展 开 式 中 ，x⁵y² 的 系 数 为 C(-1)²=21,x⁴y³ 的 系 数 为C(-1)³=-35, 所 以
的展开式中，x⁵y² 的系数为2×21+( 一 35)=7 . 故选 A.
6.D 由0,1,2,3,4可组成无重复数字的三位数的个数为CIA?=48 个，其中偶数的个数为A²+C₂C₃Cl= 30个，故所求概率为. 故 选D.
7.B 根 据 题 意 可 分 为 2 种 情 况 讨 论 ：(i) 若 A,B 中只有 一 人入选，则有 C₂CA³=24 种 不 同 的 选 派 方 案 ； (ii) 若 A,B 都入选，则有AA²=12 种 不 同 的 选 派 方 案 . 综 上 可 得 共 有 2 4 + 1 2 = 3 6 种 不 同 的 选 派 方 案 . 故
选 B.
8.A 法 一 ：设直线AB 的倾斜角为θ,则θ=∠A₁AB, , 过F 作 AA₁ 的垂线，垂足为D, 由抛物线的定 义，得|AF|=|AA₁ 1, |A₁D|=p, 所 以 |AD|=|AA₁ |-|A₁D|=|AF| 一 p, 在 △ADF 中 ， |AD|=
,所!,解得 . 同 理 可 得 , 所 以
,过 B 作 AA₁ 的 垂 线 ， 垂 足 为G, 在 △AGB 中 ， |BG|=|AB|sin∠A₁AB, 易 知 |BG|= 【高二期末考试 · 数学参考答案 第 1 页 ( 共 6 页 ) 】 26—X-301B
y 满足经验回归方程y=-0.78x+11.84, 当 x=13 时 ，y= -0.78×
13+11.84=1.7, 故 B 正确；对于 因
为 变 量x 和 y 满足经验回归方程y=—0.78x+11.84,k=—0.780,y₁+y2=2pm,yiy2=
一p²,所以 |AB|= √ 1+m² √ (yi+y₂)²-4y₁y2= √ 1+m² √4p²m²+4p²=
2p(1+m²), 因为 ,所以,所以 ,则
AB=|A₁B₁|, 即 ,所以.故选 A.
9.AC 由 ,得 ,故A 正确；由A 与 B 互斥，即A 与 B 不能同时发生，即P(AB)=0, 故 B 错误；因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), 当 B 三A 时 ，P(AB)
=P(B), 此时 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 取得最小值为 ; 当A 与B 互 斥时，P(AB)=0, 此时P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 取得最大值为P(A+B)=P(A)+P(B)=
,故C 正确；若A 与 B 相互独立，则 ,即 P(A+B)=P(A)+
,故D 错误.故选AC.
10.ACD 对 于A, 若 ,则 ,所以E(3X+2) =3E(X)+2=10,D(3X+2)=9D(X)=16, 故 A 正确；对于B, 若 X～N(0,1), 则 P(-11, 所以e=√2+1, 所以 A 正确；对于B, 设△PF₁F₂ 的外接圆的半 径为R, 则,即 .当 ,即sin∠F₁PF₂=1 时，半径 R 取得最小
【高二期末考试 · 数学参考答案 第2页(共6页)】 26—X-301B
值c,△PF₁F₂ 的外接圆的面积取到最小值c²π>b²π, 所 以 B 错误；对于C, 如 图，设点I 是△PF₁F² 的内心，过点I 分别作PF₁,PF₂,F₁F₂ 的垂线，垂足分
别为A,D,E, 由双曲线的定义及切线长性质知|PF₁I-|PF₂|=|F₁A| 一
|F₂D|=2a,|F₁F₂|=|F₁E|+|F₂E|=|F₁A|+|F₂D|=2c, 故 |F₁A|=a+
c,所以 |OE|=a, 则 E 的坐标为(a,0),为定点，故C 正确；对于D,由上知点E 是双曲线的右顶点，点I 在直线x=a 上 .设I(a,m),m≠0, 则直线IF₁,IF₂
的斜率之比 ,为常数.故D 正确，故选ACD.
12 .2或3 由组合数的性质知r=2, 或 r=3.
13. 记事件M 为“从这两个区中选1人，此人患流感”,事件A;(i=1,2) 为“从这两区中任选1人，此人来 自A 区”,则 ,P(M|A₁)=5%,P(M|A₂)=6%, 所 以P(M)=
所 以
14.11-5 √2 由曲线C:x²+y²=2|x|+2|y|, 易得曲线C 关于两坐标轴对称，关于 原点对称，当x≥0,y≥0 时，曲线C 的方程可化为(x—1)²+(y—1)²=2, 利用对称 性可得曲线 C 如 图 所 示 . T(a,b) 到 直 线 4x+3y-18=0 的 距 离 d=
,则|4a+3b—18| 即为5d, 要求得|4a+3b—18| 的最小值，结合曲线
的对称性，只需考虑x≥0,y≥0 时的情况即可.当x≥0,y≥0 时，曲线C 的方程为(x-1)²+(y-1)²=2, 曲
线为圆心为(1,1),半径为 √2的圆的一部分，而(1,1)到直线4x+3y-18=0 的距离为
由圆的性质得曲线C 上一点到直线4x+3y—18=0 的距离d 的最小值 ,故|4a+3b—18| 的最小
值为11-5 √ 2.
15.解：(1)零假设H₀: 该校学生对食堂的满意度与年级无关.……………………………………………… · 2分
经计算得
依据小概率值α=0.1的独立性检验，推断零假设H。不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此 推断犯错误的概率不大于0.1.……………………………………………………………………………… 8 分 (2)对食堂满意的学生共60人，其中大一或大二学生：20人，大三或大四学生：40人，
抽取2人均为大三或大四学生的概率： ……………………………………………13分 16.解：(1)由题意，圆心C 在直线x+y-1= 0 上，可设C(a,1—a), 分
因为圆C 过点A(2,2),B(-1,5) 两点，
所以 √(a-2)²+(1-a-2)²= √ (a+1)²+(1-a-5)2, 整理得(a-2)²=(a+4)²,……………4 分
所以a=-1, 即 C(-1,2), 且半径r=3,
所以圆C 的方程为(x+1)²+(y—2)²=9. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …………7 分
(2)由(1)知，圆C:(x+1)²+(y-2)²=9, 圆 心C(-1,2), 半 径r=3,
则四边形PECD 的面积 设 P(b,2b—6), 因为 |PD|=√PC|²-9=√(b+1)²+(2b-8)²-9=√5(b—3)²+11,……11 分
所以当b=3 时，|PD|mn=√ 11, 13 分
此时四边形PECD 的面积最小，最小值为3 √ 11. ………………………………………………………15分 17.解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”,B 表示事件“作物市场价格为4元/kg”,
由题意知 , …………………………………………………………………………1分 因为利润=产量×市场价格一成本，
所 以X 的所有可能取值为：300×4-1200=0,300×8-1200=1200,
600×4-1200=1200,600×8-1200=3600,………………………………………… … … … … … … 3分
,………………………………… ………………………………4分
, ………………………5分
所 以X 的分布列为
所以 ……………………………………………8分 (2)设C; 表示事件“第i 季利润不少于1600元”(i=1,2,3), 则C₁,C₂,C₃ 相互独立，
由(1)知
X
0
1200
3600
P
3季的利润均不少于1600元的概率为
3季的利润有2季不少于1600元的概率为
………………………………13分 综上，这3季中至少有2季的利润不少于1600元的概率为： … … … … … … … 15分
18.解：(1)设C 的半焦距为c, 由题意知 ,b=1 ,所以 ……………………………………2分 又a²=b² +c², 所 以,解得a²=3,
则 C 的方程……………………………………………………………………………………4分
(2)设SCx,y),M(x,y), 由题意知NCx,0), … … ……… ……5 分
所以NS=(x-x,y),NM=(0,y), 由 S=3NM, 得 … … 7 分
所以 又M 在C 上，所! ………………………………9分
所以 ,化简，得
所以点S 的轨迹方程 ………………………………………………………………………11分
(3)由题意知过点(—1,0)的直线 l 的斜率不为0,设直线 l 的方程为x=my-1, 与 C 的方程联立，得
消元，得(m²+3)y²—2my—2=0,△=4m²+8(m²+3)=12m²+24>0,
设 P(x₁,y),Q(x₂,y2), 则 …………………………………………12分
因为OQ 与椭圆的另一交点为G, 所 以Q,G 关于原点对称，即O 为QG 中点，
所以 ,所以 , ………………………………………………………………13分
化简，得3m⁴+2m²—5=0, 15 分
(m²—1)(3m²+5)=0, 解得n²=1,m=±1, 16 分
所以直线l 的方程为x=±y-1, 即 x+y+1=0, 或 x—y+1=0. ……………………………………17 分
19.解：(1)设事件M 表示“第一次摸到红球”,事件 N 表示“能够享受优惠”,在第一次摸到红球后，抽奖盒中还 剩3个红球和3个蓝球，共6个球，享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况，从6个球中不 放回地摸2个球，总情况有A?=6×5=30 种， ……………………………………………………………2分 摸出两个红球的情况有A=3×2=6 种，摸出1红1蓝的情况有C₃C₃A=18 种 ，
所以 ………………………………………………………………………………4分
(2)(i) 设顾客B 选择抽奖方案1时，顾客B 所获得的优惠金额为X 元，从装有4个红球，3个蓝球的抽奖
盒中摸一个球，摸到红球的概率为- ,摸到蓝球的概率为 ……………………………………………5分 当摸出0个红球时，, ……………………………………………………………6分
当摸出1个红球时， ………………………………………………7分
当摸出2个红球时， ……………………………………………… ·8分
当摸出3个红球时， …………………………………………………………9分 所以顾客B 所获得的优惠金额的分布列为
所以选择方案1时，顾客B 所获得的优惠金额的期望为
…………………………………11分
(ii) 设顾客B 选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为Y 元 ，
当摸出0个红球或1个红球时， , ……………………………………………12分 当摸出2个红球时，, ……………………………………………………………13分
当摸出3个红球时，, ………………………………………………………………14分 所以顾客B 所获得的优惠金额的分布列为
………………………………………………16分
所以E(Y)