人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式表格教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式表格教学设计，共5页。教案主要包含了温故知新，引出课题，创设情境，引入新知，抽象概括，构建概念，应用公式，巩固新知，归纳总结，提升认知，布置作业等内容，欢迎下载使用。
全概率公式
教学目标
1.经历全概率公式、贝叶斯公式概念的形成过程，明确概念之间的关系，培养学生由具体到抽象及归纳整理的能力。
2.通过实际问题的解决过程，会运用全概率公式求概率，提高学生逻辑推理的能力。
3.通过组织小组合作学习，增强学生合作意识；通过现实问题的解决过程，发展逻辑推理、数学建模的素养。
教学重点：经历全概率公式、贝叶斯公式概念的形成过程，明确概念之间的关系，体会求复杂事件概率的方法。
教学难点：通过实际问题的解决过程，会运用全概率公式求概率。
教学过程
一、温故知新，引出课题
上节我们学习了条件概率，回答下面问题。
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即
P(B∪C)=P(B)+P(C)
概率的乘法公式：
概率的加法公式：如事件B，C互斥，则有
今天我们再看一个求复杂事件概率模型——全概率公式。
二、创设情境，引入新知
引例1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出 1个球，摸出的球不再放回，共摸两次.你能提出哪些数学问题？
学生独立思考，通过互动课堂随机挑人功能，随机挑选学生作答。
第1次摸到红球的概率为aa+b.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签有公平性，所以那么第2次摸到红球的概率也为aa+b。对此你能进行严格的证明吗？
学生独立思考，小组交流，生代表展示。
用表示事件“第i次摸到红球”,表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.为了更好的理解这个过程，我们可以通过树状图来表示。
因为R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式得：
P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)=aa+b×a−1a+b−1+ba+b×aa+b−1=aa+b
当然我们也可以通过韦恩图来表述上述过程。R1,B1为两个互斥的事件，R1∪B1＝Ω，则对事件R2⊆Ω，有P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2)=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)
引例2：如果在袋子中再放入c个黄球，你能求出第2次摸出红球的概率吗？
学生独立完成，生代表板演。
因为R2=R1R2UB1R2UY1R2，利用概率的加法公式和乘法公式得：
三、抽象概括，构建概念
上面两个问题有何共同点？
上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两两互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
将上述问题一般化，你能得到什么结果？
学生独立思考，小组交流，师生共同小结。
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)我们称上面的公式为全概率公式．
全概率公式是一个复杂事件B表示为几个简单事件的并，体现了数学中转化的思想。
某一个事件B发生有各种原因，每一个原因Ai都可能导致事件B的发生，所以事件B发生的概率是各个原因Ai引起的事件B发生的概率总和，由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”的模型。
你能给出应用全概率公式求解问题的一般思路吗？
学生独立思考，小组交流，生代表作答。
设事件，写概率，代公式，下结论。
四、应用公式，巩固新知
有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%, 30%,45%. 任取一个零件，计算它是次品的概率.
学生独立思考，生代表展示。
解：设B=“任取一个零件为次品”,
Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),
则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,根据题意得
P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525
(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第1台车床加工的概率”,
就是计算在B发生的条件下,事件A1发生的概率.
P(A1|B)=P(A1B)P(B)= P(A1)P(B|A1)P (B)=0.25×
思考：例1中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
?(??)是试验之前就已知的概率,它是第?台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率。当已知抽到的零件是次品(?发生),?(??|?)是这件次品来自第?台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率。如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,那么 27,27, 37就分别是第?,?,?台车床操作员应承担的份额。
仿照全概率公式的一般化，你能写出上题中的一般形式吗？
*贝叶斯公式：
某一个事件B发生有各种原因，知道事件B已发生，探寻是由哪种原因导致的。由此可以形象地把贝叶斯公式看成为“由结果推原因”。
这个公式是由英国数学家贝叶斯首先发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系。贝叶斯公式在统计学中有着广泛的应用。
例2:在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
*(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.
解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则A=“发送的信号为1”，
B=“接收到的信号为1”.由题意得
（1）P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1, P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95.
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475;
P(B)=1−P(B)=1−0.475=0.525.
(2)P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=0.5×5−
五、归纳总结，提升认知
对于复杂的问题，尽量分解为多个简单的小问题来研究，一个一个地分开解决。这就是我们常说的化繁为简，化整为零。——笛卡尔
六、布置作业
1.课本P52 习题7.1 4、5、7。
2.全概率公式和贝叶斯公式是概率统计中的重要内容，与实际生活紧密联系，请你查找资料，了解它们在生活中的应用。