必修 第二册空间直线、平面的垂直表格教案设计

这是一份必修 第二册空间直线、平面的垂直表格教案设计，共6页。
直线与平面垂直
教学目标
1.了解直线与平面垂直的定义．
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．
3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．
教学重点：直线与平面垂直的定义和判定，线面角的概念.
教学难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探索过程及其应用.
教学过程
一．新课导入
问题1：直线与平面有几种位置关系？如何分类？
问题2：类比平行的研究思路，接下来我们应该研究什么？
设计意图：通过复习引入，寻找知识的最近发展区，让学生明确本节课将“研究什么”及“研究的重点是什么”。
二．新知探究
1.直观感知（课本149页“观察”）
问题3：在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？
问题4：随着太阳的移动，旗杆及它在地面的影子位置关系又是什么呢？
问题5：旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？
设计意图：本环节通过多媒体课件直观展示旗杆和在地面上影子的变化过程，更有利于引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，感知直线与平面垂直的本质属性。
2.直线与平面垂直的定义
(1)文字语言:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.

(2)图形语言:
(3)相关概念：平面α的垂线，垂足，直线l的垂面.

概念辨析 判断下列说法是否正确：
1.如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，那么l⊥α.
2.如果l⊥α，那么直线l垂直与平面α内的任意一条直线.
3.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
总结：1.线面垂直⇒线线垂直
2.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段 ，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
设计意图：加深概念理解，掌握定义本质，明确任意一条与无数条的区别；通过判断（3）让学生直观感知该结论，进而给出垂线段、点到平面的距离的概念，顺势介绍棱锥的高的概念，从而实现了感性认识到理性认知的转变，弥补了结构特征单元中的概念不足.
3.合作研学，激情展学（5min）（课本150页“探究”）
折纸实验：请同学们拿着准备好三角形的纸片，一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？
设计意图：这个活动的目的在于让学生在操作中辨析、思考折纸过程的数学本质，真正体会到知识产生的过程，在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。同时在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，进一步提高自主学习能力.
4.直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言:若一条直线与一个平面内的此平面内 都垂直,则该直线与此平面垂直。
(2)图形语言:
(3)符号语言: l∥ a , a⊂ α , a⊂ α , a⊂ α , l⊄α ⇒ .
问题6：两平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？尝试从向量的角度去解释下原因.

设计意图：设置思考对判定定理进行解释与辨析，促使学生确认此定理的正确性并加深对“两条相交直线”这一关键条件的认识.
思维辨析 判断正误：
1.若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直．( )
2.若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线．( )
3.若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．( )
例1




例2 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
总结：用判定定理证明直线与平面垂直的步骤如下
(1)找：在平面内找到两条相交直线或作出两条直线与已知直线垂直；
(2)证：证明已知直线与这两条直线垂直；
(3)结论：由判定定理得出结论．
设计意图：思维辨析是为了让学生更好的理解直线与平面垂直的位置关系，例1、例2的设计题目难度有梯度，并且前后呼应，例1是为了解决新课导入问题.
5.直线与平面所成角
问题7：直线与平面垂直是直线与平面的相交的一种特殊情况，当它们不垂直时，不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同？
1.斜线：条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直称这条直线是这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点叫做斜足.
射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
问题8：直线与平面上不是它的射影的直线所成的角，与这条直线和平面所成的角的大小关系是什么？
2.直线与平面所成角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
注：1.斜线与平面所成的角的取值范围：(0，π2).
2.一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角.
3.一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角.
4.直线与平面所成的角的取值范围：[0，π2]。
设计意图：引出直线与平面所成角的概念，同时建立平面的一条射线在平面上的射影的概念。
巩固练习
例3 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
(1)A1B与面DCC1D1所成的角.
(2)A1B与面AB1C1D所成的角.
(3)A1B与面A1B1C1D1所成的角.
(4)A1B与面A1B1CD所成的角.
例4 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，求直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
设计意图：例3、例4的设计题目难度有梯度，并且前后呼应，例3是为了解决新课导入问题.通过例题教学巩固直线和平面所成的角的概念以及直线和平面垂直的判定定理，结合题目的分析，培养学生养成回归定义思考问题的意识，并引导学生形成从特殊情况入手解决问题的习惯.
三．课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？


1．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
四.当堂检测
C D
A B

2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
五．自我评价
收获：1． 2．
仍存在问题1. 2．
六．作业布置
必做题：课本第152页 练习1，3
选做题：课本第152页 练习4