初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）3.3 分式的加法与减法习题

这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）3.3 分式的加法与减法习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是（ ）
A .(ab)2=a2b
B . a3÷a＝a2
C .1a+1b=2a+b
D . −x−yx−y ＝﹣1
2.若xy=x﹣y≠0，则分式 1y-1x=（ ）
A . 1xy B . y-x C . 1 D . -1
3.计算 a1-a-11-a的结果为（ ）
A . 1+aa-1 B . - aa-1 C . -1 D . 2
4.下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A .xy=x2y2
B .x+yx2-y2=1x+y
C .xy=x+zy+z
D .-x-yx+y=-1
5.下列等式中一定成立的是（ ）
A .1x+1x+1=(x+1)+x
B . （﹣x）2=﹣x2
C . （a+b）2=a2+b2
D . x﹣y﹣z=x﹣（y+z）
6.若代数式 x2x−1◯xx−1(x≠0) 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（ ）
A . 除号“÷”
B . 除号“÷”或减号“-”
C . 减号“-”
D . 乘号“×”或减号“-”
7.计算： x2xy-xy的值是（ ）
A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
8.对于正数x，规定 fx=2xx+1 ， 例如 f2=2×22+1=43 ， f12=2×1212+1=23 ， f3=2×33+1=32 ， f13=2×1313+1=12 ， 计算： f1301+f1300+f1299+...+f13+f12+f1+f2+f3+⋯+f299+f300+f301= （ ）
A . 602 B . 601 C . 600 D . 599
9.甲、乙两人都去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买50千克的大米，乙每次够买50元的大米，这两人第一次够买大米时售价为每千克m元，第二次购买大米时售价为每千克n元（m≠n），若规定谁两次购买大米的平均单价低，谁的购买方式就合算，则（ ）
A . 甲的够买方式合算
B . 乙的够买方式合算
C . 甲、乙的够买方式同样合算
D . 不能判断谁的够买方式合算
10.若 3a+1(a+3)(a-1)= ma+3+ na-1 ， 则（ ）
A . m=﹣3，n=1 B . m=3，n=﹣1 C . m=3，n=1 D . m=2，n=1
二、填空题
1.定义新运算：a⊕b= 1a+1b ， 若a⊕(-b)=3，则 3ab2a-2b的值是 ________ .
2.已知 m﹣ n＝2，则 3mn(m+n)2−4mn•(1m−1n) 的值为 ________ ．
3.已知a+b=2， ab=-5， 则 ab+ba的值为 ________ .
4.定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式 3x+1与 3x1+x互为“3阶分式”．则分式 a2+b2(a−2b)2与 ________ 互为“5阶分式”．
5.计算：1﹣a﹣ 1a-1= ________ ．
6.已知： 4x2-1=Ax-1+Bx+1是一个恒等式，则A= ________ ，B= ________ ．
7.观察下列等式：① a+2a=3；② a+6a=5；③ a+12a=7；④ a+20a=9…；第n个等式 ________ ．
8.3a- 2a= ________
9.如果 x=3−1x ， 则 x22x4+x2+2的值等于 ________ ．
10.1R= 1R1+ 1R2是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R 1+R 2≠0．用R 1 ， R 2表示R，则R= ________ ．
三、计算题
1.比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P= aa+1+ bb+1 ， Q= 1a+1+ 1b+1 ， 比较P、Q的大小．
2.（1）解方程： 3x−2−1−x2−x=1
（2）先化简： aa+1÷a−1−2a−1a+1 ， 然后给a选择一个合适的自然数代入求值．
3.仿照例子，将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式
⑴a2+2a+2a+3
⑵2x4+x2−5x2−1
解：(1)a2+2a+2a+3=a2+3a−a−3+5a+3
a(a+3)−(a+3)+5a+3=a−1+5a+3
4.吴广同学计算 a+2+a22−a时，是这样做的：
a+2+a22−a=2+a+a22−a……第一步
=2+a2−a+a2……第二步
=2−a2+a2……第三步
=2……第四步
（1） 吴广同学的做法从第______步开始出现错误，正确的计算结果是______．
（2） 计算： x2x−1−x−1 ．
5.已知三个代数式：
（1） a2a-1；（2） 11-a；（3） 2aa2-a ．
请从中任取两个代数式求和，并进行化简．
四、综合题
1.某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区 S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造 a米道路，乙工程队每天可以改造 b米道路，（其中 a≠b）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前 12S米的道路由甲工程队改造，后 12S米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
2.化简与分解因式
（1） 化简：（ x2x−2 ﹣ 4x−2 ）•1x2+2x
（2） 分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．
3.阅读：已知 a−b=−3 ， ab=1.求 a2+b2的值.
解：∵ a2+b2=(a−b)2+2ab ， 而 a−b=−3 ，ab=1
∴a2+b2=(−3)2+2×1=11
请你根据上述解题思路解答下列问题：
（1） 已知 a+b=2 ， ab=−12 ， 求 a2+b2的值；
（2） 若 (x+a)(x+b)=x2−2x+12 ， 求 ba+ab的值.
五、解答题
1.观察下面的等式：12=13+16,13=14+112,14=15+120,⋯
（1） 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）.
（2） 请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.
2.如果两个分式P与Q，满足 P+Q=k（k为常数），且k为整数（ k≠0），则称P与Q互为“调和分式”，常数k称为“调和值”．例如：分式 P=xx+2 ， Q=2x+2 ， 由 P+Q=1 ， 则P与Q互为“调和分式”，“调和值” k=1 ．
（1） 已知三个分式 A=x+2x−1 ， B=x−4x−1 ， C=1−4xx−1 ， 则下列结论中正确的是______（填序号）．
①A与B是调和分式；②A与C是调和分式；③B与C是调和分式．
（2） 若分式 M=3x−22x−3 ， N=S4x2−9（S是整式），M与N互为“调和分式”，且“调和值” k=4 ， 求整式S；
（3） 若分式 ax+3x−1与 2x+bx2−2x+1（a，b为整数）互为“调和分式”，求“调和值”k的值．
3.小颖和小红在化简 (1x+2+1x−2)⋅x2−4x2的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式=[x−2(x+2)(x−2)+x+2(x+2)(x−2)]⋅x2−4x2
…
小红：原式=1x+2⋅x2−4x2+1x−2⋅x2−4x2
…
（1） 小颖解法的依据是 ________ ，小红解法的依据是 ________ ．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2） 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“ −2 ， 1 ， 2”中选一个合适的数作为 x的值，代入求该分式的值．