四川省合江县马街中学2026届高三下学期开学检测数学试卷（Word版附解析）

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第I卷 选择题 58分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. -1B. C. D. 2i
2. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
5. 已知正项等比数列前项和为，若，则（ ）
A. 16B. 32C. 27D. 81
6. 若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
7. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植
B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大
C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则
10. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上
D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则
11. 在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（ ）
A. 若M为的中点，则三棱锥体积为定值
B. 存点P使得
C. 当时，平面截长方体所得截面的面积为
D. 若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为
第II卷 非选择题 92分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是___________.
13. 已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为_____.
14. 已知函数，，若，，则的最小值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为.
（1）求的大小；
（2）若，角的平分线交于点，求.
16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
（1）证明：四边形平行四边形；
（2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
18 已知函数.
（1）若，求的极值.
（2）若且，关于的方程在上仅有一个实根.
（i）证明：；
（ii）求的最大值.
19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点.
（i）求的最小值；
（ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切.
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
3
2
2
5
6
5
4
3
30
女生人数
9
2
3
6
4
3
2
1
30
合计
12
4
5
11
10
8
6
4
60
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635