四川省合江县马街中学校2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题含答案

这是一份四川省合江县马街中学校2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足 z1+i=2i ，则 z2= ( )
A. -1 B. 1−i C. 1+i D. 2i
2. 下列函数是偶函数的是( )
A. y=sinx B. y=csx C. y=x3 D. y=3x
3. 集合 A=x∣x2−4x≤0,B={x∈Nx∣0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点 x1>0,y1>0 ，若 AF=2BF=4 ，则下列说法正确的是( )
A. y1⋅y2 为定值
B. 抛物线 E 的准线方程为 y=−83
C. 过 A、B 两点作抛物线的切线,两切线交于点 N ,则点 N 在以 AB 为直径的圆上
D. 若过点 F 且与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线于 C,D 两点，则 AB⋅CD=288
11. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=AA1=2,AD=1,E 为 A1B1 的中点,点 P 满足 DP=λDB1λ>0 ，则( )

A. 若 M 为 A1D 的中点，则三棱锥 P−BEM 体积为定值
B. 存在点 P 使得 AP⊥BE
C. 当 λ=23 时,平面 PBC 截长方体 ABCD−A1B1C1D1 所得截面的面积为 5
D. 若 Q 为长方体 ABCD−A1B1C1D1 外接球上一点, λ=2 ,则 QE+QP 的最小值为 14
第 II 卷 非选择题 92 分
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 1−ax6 的二项展开式中 x3 项的系数是 20,则实数 a 的值是_____.
13. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的 2 倍,则 C 的离心率为_____.
14. 已知函数 fx=x+lnx−1,gx=xlnx ,若 fx1=1+2lnt,gx2=t2 ,则 x1x2−x2lnt 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,sinπ2+C−12csB=sinCtanB .
(1)求A的大小；
(2)若 b+c=2,a=3 ，角 A 的平分线交 BC 于点 D ，求 AD .
16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了 60 名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表:
(1)若将一周参加体育锻炼次数为 3 次及 3 次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”. 请完成以下 2×2 列联表,并依据小概率值 α=0.1 的独立性检验,能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系;
(2)若将一周参加体育锻炼次数为 0 次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题. 以样本频率估计概率, 在全校抽取 3 名同学, 其中“极度缺乏锻炼”的人数为 X ,求分布列和 DX ;
(3)若将一周参加体育锻炼 6 次或 7 次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯, 在样本的 10 名“运动爱好者”中, 随机抽取 3 人进行访谈, 设抽取的 3 人中男生人数为 Y ,求 Y 的分布列和数学期望.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d
17. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中,平面 BCC1B1⊥ 平面
ABC,AC⊥AB,AC=AB,BC=CC1=2,∠BCC1=60∘ ,过 AA1 的平面与 BC,B1C1 分别交于点 D,D1 .

(1)证明:四边形 ADD1A1 为平行四边形;
(2)若 CD=λDB ,则当 λ 为何值时,直线 BC1 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值最大?
18. 已知函数 fx=13x3+2−ax2−ax+1 .
(1)若 a=3 ,求 fx 的极值.
(2)若 a>1 且 b>−1 ，关于 x 的方程 fx+xex+b+12a−3x2=0 在 0,+∞ 上仅有一个实根 x0 .
(i) 证明: a=ex0+x0 ;
(ii) 求 4a−b 的最大值.
19. 设 A,B 两点的坐标分别为 −2,0,2,0 ,直线 AP,BP 相交于点 P ,且它们的斜率之积为 −34 ,设点 P 的轨迹为曲线 E .
(1)求 E 的方程；
(2)若直线 l 过点 Q1,0 ，与 E 交于 C,D 两点， C 在 x 轴上方，直线 AC,BD 交于点 M ，直线 AD,BC 交于点 N .
(i) 求 MN 的最小值;
(ii) 设直线 AC 与直线 x=2 相交于点 G,BG 中点为 H,BT⊥QH,BT 交 l 于点 T ,证明: 直线 TH 与定圆相切.
1. D
由 z1+i=2i 可得 z=2i1+i=2i1−i1+i1−i=1+i , 则 z2=1+i2=1+2i+i2=2i .
故选: D
2. B
对于 A ,因为 sin−x=−sinx,x∈R ,所以函数 y=sinx 为奇函数,故 A 不正确;
对于 B ,因为 cs−x=csx,x∈R ,所以函数 y=csx 为偶函数,故 B 正确;
对于 C ,因为 −x3=−x3,x∈R ,所以函数 y=x3 为奇函数,故 C 不正确;
对于 D ,因为 3−x=13x,x∈R ,所以函数 y=3x 为非奇非偶函数,故 D 不正确.
故选: B.
3. C
因为集合 A=x∣x2−4x≤0={x∣0≤x≤4} ,
B={x∈Nx∣0 ,
所以 q=3 或 q=−2 舍,
所以 a5=1×33=27 .
故选: C.
6. A
由题意得到删去一个数之后, 平均值没有改变, 所以删除的数为 5 ,
由题意 s2=1ni=1nxi−52=32 ,得 i=1nxi−52=32n ,
删除一个数后的方差为: 1n−1i=1nxi−52−5−52=40 ,
得 32nn−1=40 ,即 n=5 .
故选: A.
7. B
由题意得 31−2sin2α−sinα=2 ,
解得 sinα=−12 或 sinα=13 .
又 α∈π2,π ,所以 sinα=13 ,
则 csα=−1−sin2α=−223,tanα=sinαcsα=−24 ,
所以 csπ−α=−csα=223,tanπ−α=−tanα=24 ,
sinπ2−α=csα=−223, csπ2−α=sinα=13,
故 ACD 错误、B 正确.
故选: B
8. A
如图,设圆锥的底面半径为 r ,母线为 m ,则圆锥的高为 h=m2−r2 ,
则圆锥的体积为 V=13πr2h=13πr2m2−r2 ,记 fr=13πr2m2−r2 ,
则 f′r=13π2rm2−r2+r2⋅−2r2m2−r2=π3⋅2m2r−3r3m2−r2 ,
由 f′r>0 可得 032,OE=520 ，
∵gx2=x2lnx2=t2=elnx2⋅lnx2 ②,
又 ∵y=x⋅ex 在 [0,+∞) 上单调递增,
故由①②得 ex1−1x1−1=elnx2⋅lnx2⇒x1−1=lnx2 ,
故 x1x2−x2lnt=x2lnx2⋅lnt=t2lnt ,
令 ht=t2lntt>0 ,则 h′t=2tlnt+t ,
令 h′t>0 ,解得: t>e−12 ,令 h′t