2026年福建省中考数学模拟卷

这是一份2026年福建省中考数学模拟卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I 卷 （选择题40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，为无理数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，（每两个之间依次多个）等形式．
【详解】解：、、属于有理数，属于无理数，
故选：B．
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义解及性质是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．一元二次方程的解是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】C
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
即或
解得，
故选C
4．如图1，鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，由多根木条通过榫卯咬合而成，也是一种广泛流传的益智玩具．如图2是鲁班锁中的一个构件，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．利用俯视图的定义：俯视图是从物体的上面看得到的平面图形，找到从上面看所得到的图形即可，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线．
【详解】解：图2的俯视图如下：
故选：B．
5．如图表示关于的不等式的解，则的值为（ ）
A．B．
C．1D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式进而得出答案．
【详解】解：解不等式得，
由数轴解集可得，
解得，
故选：A．
6．在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为（ ）
A．16B．18
C．20D．24
【答案】C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得：，
经检验是原方程的根，故C正确．
故选：C．
7．划船是一项涉及全身的协调运动，正确的划船动作需要保持正确的姿势和体态．如图，，若，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定与性质、邻补角，先根据邻补角定义求得，再根据平行线的性质可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设该店有客房x间、房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间、房客y人，根据题意得：
，
故选：A．
9．如图，中，若，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心．大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；③作射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案．
【详解】解：∵，，
，
由作图知，平分，
，
又，
，
故选：C．
10．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥若，是抛物线上两点，且，则实数m的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，由二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，可解得，，可判断①的正误；由图象可知方程有两个不相等的实数根，可判断②的正误；由，可判断③的正误；由，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，实数m的取值范围是，可判断⑥的正误．
【详解】解：由题意知，，
∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴，①正确，故符合要求；
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，②正确，故符合要求；
∵，
∴③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根，④正确，故符合要求；
∵，
∴⑤错误，故不符合要求；
由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，
∵，
由函数的图象与性质可知，实数m的取值范围是，⑥正确，故符合要求；
故选：D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．在知识抢答中，如果用表示得分，那么扣分表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了具有相反意义的量．如果得分记为正数，那么扣分就相应的记为负数．
【详解】解：得分和扣分是具有相反意义，表示得分，那么扣就应表示为：．
故答案为：．
12．如图，一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，正方形的性质，30度角所对的边是斜边的一半，三角形内角和性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出每个正六边形的内角为，，再得出，则，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵一个正六边形和一个正方形各有一边在直线上，且只有一个公共顶点．
∴每个正六边形的内角为，，
∴，
∴，
则，
在中，
∵，
∴
∴（负值已舍去），
故答案为：
13．抛物线的开口方向 ．
【答案】下
【分析】根据二次函数的性质，二次项系数的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下．
【详解】解：在抛物线 中，二次项系数 ，
由于，
因此抛物线的开口方向向下．
故答案为：下．
14．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，掌握求交点坐标的方法是解题的关键．利用待定系数法求得两直线的解析式，然后联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标．
【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点，
，，
解得：，，
一次函数解析式为：，反比例函数解析式为；
解方程组，得或，
∴点的坐标为．
故答案为：．
15．某水果超市销售山竹，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
若山竹销售价定为元千克，则山竹的销售量为 千克．
【答案】
【分析】根据表格数据符合一次函数规律，待定系数法得出一次函数解析式进而得出答案．
【详解】解：由表中数据可得：销量与销售价是一次函数关系，则设，
把，代入得：
，
解得：，
故函数解析式为：，
若山竹销售价定为元千克，则山竹的销售量为：（千克）．
故答案为：．
16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则有图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
【详解】解：设，
把代入，
，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
度数减少了（度，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根和零指数幂，解题的关键是掌握相关的运算法则．根二次根式、零指数幂、立方根化简，再算加减即可．
【详解】解：
18．（8分）如图，在中，点O是线段的中点，连接并延长，交延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由可证，得，即可得出结论；
（2）由题知，可得，然后得，最后即可求证.
【详解】（1）证明：∵O是的中点
∴，
∵四边形是平行四边形
∴，
∵与延长线交于点E
∴，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，理由如下：
∵四边形是平行四边形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
19．（8分）先化简，再求值：，其中，，．
【答案】
【分析】先计算括号内的，再把除法转化成乘法，约分化简后把a，b的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
当，时，
原式．
20．（8分）开学以来，某食堂提供了、、三种套餐供学生选择，单价分别是8元、10元、15元，为了做好下阶段的服务与销售，食堂统计了开学以来、、三种套餐的周平均销售量如下表，平均每份套餐利润与周销售量之间的关系绘制成如下条形统计图：
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明上周到食堂用餐两次，均购买了套餐（两次选择随机购买不同类型的套餐），求小明两次购买的套餐为组合的概率；
(2)根据上级规定，平均每份套餐的利润不得超过3元，否则应调低单价．试判断该食堂是否需要调低单价？若需要调整，请通过计算说明，应把哪一种套餐的单价调整为多少元，才能使平均每份套餐的利润最大且不得超过3元？若不需要调整，请说明理由．（要求：若需要调整，该食堂只能调低一种套餐的单价，且调低幅度只能是1元整数倍．）
【答案】(1)
(2)是，调整套餐为14元
【分析】本题主要考查了通过树状图或表格求概率，条形统计图和表格的综合应用，求平均数，方案的选择等知识点，解题的关键是通过条形统计图和表格得出准确的数据．
（1）利用树状图求概率即可；
（2）求出平均数，然后分情况进行讨论得出最优方案即可．
【详解】（1）解：小明两次购买套餐的树状图如下，
由树状图可知共有6种等可能的结果，其中小明选择套餐为组合的结果有2种，
∴其概率为；
（2）解：根据条形统计图可知平均每份套餐的利润为2元，每份套餐的利润为4元，每份套餐的利润为3元，
总利润为（元）
平均每份套餐的利润为（元）
，
∴该食堂需要调低单价，
假设调低套餐单价1元，平均每份套餐的利润为（元）；
假设调低套餐单价1元，平均每份套餐的利润为（元）；
假设调低套餐单价1元，平均每份套餐的利润为（元）；
综上可得，当调低套餐单价1元时，即套餐单价为14元时，才能使平均每份套餐的利润最大且不超过3元．
21．（8分）如图，是的弦．是延长线上一点．
(1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接．求证：．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求；
（2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图：
由作图可得：，
∴，
∴为的切线；
（2）解：连接，如图：
设，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
22．（10分）关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的范围；
(2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根；
(3)若，是这个方程的两个根，且，则______．
【答案】(1)
(2)，另一个根为
(3)
【分析】对于（1），根据，解答即可；
对于（2），将方程的根代入计算可求出k，再计算另一个根；
对于（3），根据完全平方公式整理出关于和的形式，再代入计算，并判断答案．
【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）∵方程的一个根是，
∴，
解得．
∵方程的两根之和为6，
∴方程的另一个根为．
（3）根据题意，得和．
由，得，
代入，得，
解得．
由（1）可知，
∴符合题意．
故答案为：．
23．（10分）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……
将纸按如图1所示的方式折叠．
(1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________；
(2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为．
请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积．
【答案】(1)
(2)作图见解析，不唯一
【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键．
（1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解；
（2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解．
【详解】（1）解：设纸的长为，宽为，
第一次翻折：由图可知，，
∴四边形是正方形，
∴，
第一次翻折：，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵纸的宽与长的比值为，
∴如图，设，，
由题可知，
∴底面积为，
得，
作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体，
此时，，
∴，
∴底面积为，
此时如图：
如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体，
此时，，
∴，
∴底面积为，
此时如图：
24．（13分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知是射线上的两点（点在点的下方），连接．若，求的面积；
(3)将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点，此时的抛物线与轴交于两点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设设，，根据，列出方程求出的值，进而得到点坐标，过点作轴，过点作轴，分割法求出三角形的面积即可；
（3）求出的解析式，根据题意，得到点在直线上，设，进而得到新的抛物线的解析式，求出，的坐标，根据正切值的定义，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵点在点的下方，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，过点作轴，
则：，
∴
；
（3）∵，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点，
∴点在直线上，设，
∴平移后的解析式为：，
令，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
解得：或，
当时，
则：，即：，
解得：，
∴；
当时，
则：，即：，
解得：，
∴；
综上：．
25．（13分）如图，与是内接三角形，，．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据圆周角定理和平行线的性质进行求解即可；
（2）连接，连接并延长交于点，连接，利用圆周角定理得出相等的角，利用平行线的性质得出相等的角，然后得出，得到，利用垂径定理得出直角三角形，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵与所对的是同一个弧，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，连接并延长交于点，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过圆心，
∴，
∴，
∴根据勾股定理得，，
设，则，
∴由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的半径为．每千克售价元
每天销量千克
套餐种类
周平均销售量（份）
1800
2400
800