（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 章节测试（2份，原卷版+教师版）

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一、单选题：
1．从正整数1，2，……10中任意取出两个不同的数，则取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】从1，2，……10中任意取出两个不同的数，共有种选择，其中满足取出的两个数的和等于某个正整数的平方，
故取出的两个数的和等于某个正整数的平方的概率为.故选：C
2．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于的偶数都可以写成两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取个不同的数，其和等于的概率是(注：若一个大于的整数除了和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不超过的素数有：，，，，，，，，，，，，共个，
从中随机选取个不同的数，共有个基本事件；其中两个素数和为的情况有，，，共个基本事件；所求概率.故选：C.
3．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，，定义协方差为，已知，的分布列如下表所示，其中，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】A
【解析】的分布列为
，，，
.故选：A.
4．已知A，B，C为三个随机事件且，，>0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】A，B，C相互独立,则满足，且，，；A，B，C两两独立则满足，，；故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，故A正确．故选：A
5．现有甲乙两个箱子，分别装有除颜色外其它都相同的黑色和白色两种球，甲箱装有2个白球3个黑球，乙箱有3个白球2个黑球，先从甲箱随机取一个球放入乙箱，再从乙箱随机取一个球是白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设“从乙箱中取出白球”，“从甲箱中取出白球”，则，，，，故由全概率公式得．故选：C．
6．下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；
④，.
A．②③B．②③④C．①②④D．①②
【答案】C
【解析】对于①，随机变量服从二项分布，，①正确；
对于②，随机变量服从正态分布且，则，
，②正确；
对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法，
所以不同的分配方案共有.③错误
对于④，，，④正确，所以说法正确的有①②④.故选：C
7．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】由题可知，，解得，X的可能取值为，
，，，，
∴.故选：A
8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（ ）
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】C
【解析】对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A正确；
对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为，故B正确；
对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”，
因为信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为，
所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为，故C错误；
对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”，
所以其概率为；若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为，
由，且，则，故D正确；
故选：C.
二、多选题：
9．给定事件，且，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则A，B互为对立事件
B．若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C．
D．若A，B为相互独立事件且，则
【答案】BCD
【解析】对A，由表明在事件发生的前提下，事件或事件发生的概率为1，并不能得出A，B互为对立事件，A错误；
对B，若，且A，B互斥，则,所以A，B不可能相互独立，B正确；
对C，当互斥时，；当不互斥时，，C正确；
对D，若A，B为相互独立事件，则，
,D正确.故选:BCD.
10．甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是（ ）
A．若从甲盒中一次性取出2个球，记表示取出白球的个数，则
B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为
C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，则恰好得到2个白球的概率为
D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记：从乙盒中取出的1球为白球，则
【答案】BCD
【解析】A选项，由题意得，故错误；
B选项，由题意得取出1个白球的概率为，故正确；
C选项，若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回，设抽到白球个数为，则，
则恰好得到2个白球的概率为，故正确；
D选项，从甲盒中取出白球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
从甲盒中取出黑球放入乙盒中，从乙盒中取出的1球为白球，此时概率为，
故，故正确.
故选：BCD
11．若随机变量，则（ ）
A．的密度曲线与轴只有一个交点B．的密度曲线关于对称
C．D．若，则，
【答案】ACD
【解析】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确；的密度曲线关于直线对称，故B错误；
，故C正确；
，，故D正确.故选：ACD.
三、填空题：
12．6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为 .
【答案】
【解析】法一：设“两名女生都到岗”为事件A，“两名女生不在同一岗位”为事件B，
则，，
∴．
法二：．
故答案为：
13．若随机变量，若，则 ．
【答案】/
【解析】由题意知随机变量，，
所以，即，即，
而，则，故答案为：
14．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）.根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立.若甲以获胜的概率不高于甲以获胜的概率，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】题意可知，甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率为，因为，
所以，解得，故的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：
15．习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

(1)求的值及频率分布直方图中的值；
(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
【解析】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
16.随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.

(1)根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）
(3)现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分.若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期.
（参考数据：若，则，，.
【解析】（1）由频率分布直方图估计平均数为：
（分）
（2）由题意可得测试成绩X近似服从正态分布
所以，则
所以人
故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为人；
（3）随机变量的所有可能取值为：
，，
，，，
所以的分布列如下：
数学期望.
17.甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
【解析】（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中，
其概率为，又，故，解得；
（2）设为甲累计获得的分数，则，所以，
设为乙累计获得的分数，则的可能取值为0，2，4，6，8，10，
，，，，
，，所以的分布列为：
所以，
因为，所以甲获胜的可能性大
18．(1)对于任意两个事件，若，，证明：；
(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，2，…，，则对任意的事件，，有，，2，…，.
（i）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？
（ii）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概率就不再是1%，这是因为第一次检查呈阳性，所以对其患肺癌的概率进行修正，因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率，请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性，则他真的患肺癌的概率是多少？
【解析】(1)因为，，所以
(2) （i）记检查结果呈阳性为事件A，被检查者患有肺癌为事件B，
由题意可得：，，由贝叶斯公式得
，
因此某烟民的检查结果为阳性，他真的患有肺癌的概率是.
（ii）同（i），.
19.某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
(1)求随机变量的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（i）求随机变量的分布列
（ii）证明.
【解析】（1）由题意，每位选手成功闯过两关的概率为，易知取1,2,3,4，则，，，，因此的分布列为
（2）（i）时，第人必答对第二题，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
当时，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，故.
的分布列为：
（ii）由（i）知.
，
故，
又，故，
所以，①
，②
②－①，
故.
1
2
1
2
1
2
4
调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
0
1
2
3
4
1
2
3
…
…