新高考数学一轮复习第10章 第10讲 计数原理，概率，随机变量及其分布（综合测试）（2份打包，原卷版+教师版）

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1．（2022·全国·高一课时练习）嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．将报名的30位同学依次编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为（ ）
35 24 10 16 20 33 32 51 26 38 79 78 45 04
38 23 16 86 38 42 38 97 01 50 87 75 66 81
A．26B．01C．16D．04
【答案】B
【详解】依次从数表中读出的有效编号为10，16，20，26，04，23，01，…
故选出来的第7个个体的编号为01．
故选：B．
2．（2022·陕西西安·高二期末（文））在一次试验中，测得 SKIPIF 1 < 0 的五组数据分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，去掉一组数据 SKIPIF 1 < 0 后，下列说法正确的是（ ）
A．样本数据由正相关变成负相关B．样本的相关系数不变
C．样本的相关性变弱D．样本的相关系数变大
【答案】D
【详解】由题意，去掉离群点 SKIPIF 1 < 0 后，仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A、B、C错误，D正确.
故选：D.
3．（2022·北京市第五十七中学高二期末）在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，若二项式系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】二项式系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（ ）
A．36种B．72种C．48种D．24种
【答案】B
【详解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．
①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；
②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．
综上，不同的涂法种数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为锐角的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为锐角等价于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的方向不同，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则满足条件的向量 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，与 SKIPIF 1 < 0 同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，
又 SKIPIF 1 < 0 的取法共有 SKIPIF 1 < 0 种，
则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为锐角的概率是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
6．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】设事件 SKIPIF 1 < 0 表示“考生答对”， 设事件 SKIPIF 1 < 0 表示“考生选到有思路的题”.
则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：
SKIPIF 1 < 0
故选：C.
7．（2022·福建漳州·高二期末）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，试卷满分 SKIPIF 1 < 0 分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的 SKIPIF 1 < 0 ，数学考试成绩在 SKIPIF 1 < 0 分到 SKIPIF 1 < 0 分（含 SKIPIF 1 < 0 分和 SKIPIF 1 < 0 分）之间的人数为 SKIPIF 1 < 0 人，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题设，若 SKIPIF 1 < 0 表示数学考试成绩，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故参加本次联考的总人数约为 SKIPIF 1 < 0 人.
故选：C
8．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期中）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第 SKIPIF 1 < 0 次触球者是甲的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．则下列说法正确的个数是（ ）
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】甲传球给乙或丙，故 SKIPIF 1 < 0 ，（1）正确；
乙或丙传球给其他两个人，故 SKIPIF 1 < 0 ，（2）正确；
由题意得：要想第 SKIPIF 1 < 0 次触球者是甲，则第 SKIPIF 1 < 0 次触球的不能是甲，
且第 SKIPIF 1 < 0 次触球的人，有 SKIPIF 1 < 0 的概率将球传给甲，
故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比是 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，（4）错误.
说法正确的个数是3个.
故选：C
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东广州·高二期末）已知某随机试验的两个随机事件A，B概率满足 SKIPIF 1 < 0 ，事件 SKIPIF 1 < 0 “事件A与事件B恰有一个发生”，则下列命题正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是互斥事件
B．若A，B是互为独立事件，则A，B不可能是互斥事件
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为对立事件，它们一定是互斥事件，故A正确；
对于B，若A，B是互为独立事件，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则A，B不可能是互斥事件，故B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 表示“事件A与事件B至少有一个发生”， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为互斥事件时， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D，例如掷一次骰子，事件 SKIPIF 1 < 0 表示得到1或2点，事件 SKIPIF 1 < 0 表示得到1点，则事件 SKIPIF 1 < 0 表示得到2点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AB.
10．（2022·全国·高一课时练习）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率直方图，如图所示．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，平均数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则下面正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】由题中频率直方图得，甲地区 SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以甲地区用户满意度评分的中位数 SKIPIF 1 < 0 ，
甲地区的平均数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
乙地区 SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的频率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以乙地区用户满意度评分的中位数 SKIPIF 1 < 0 ，
乙地区的平均数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选:BC．
11．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；令 SKIPIF 1 < 0 得，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确； SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故D正确．
故选:BCD．
12．（2022·重庆·高二期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 为等差数列
D．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
【答案】ABD
【详解】A选项：由组合数的性质可知A正确；
B选项： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
C选项： SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D选项：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为公差为1的等差数列，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·全国·高一课时练习）经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多 SKIPIF 1 < 0 人．按分层抽样的方法从全班选出部分学生参加摄影讲座，如果选出的是 SKIPIF 1 < 0 位“喜欢”摄影的同学、 SKIPIF 1 < 0 位“不喜欢”摄影的同学和 SKIPIF 1 < 0 位持“一般”态度的同学，则全班学生中“喜欢”摄影的人数比全班学生人数的一半还多______人．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设班里“喜欢”摄影的有y人，持“一般”态度的有x人，“不喜欢”摄影的有（ SKIPIF 1 < 0 ）人，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以全班共 SKIPIF 1 < 0 （人）．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以“喜欢”摄影的人数比全班学生人数的一半还多3人．
故答案为：3.
14．（2022·上海·复旦附中高二期末）有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】解：依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特效治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者､疑似的新冠肺炎患者､无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户､不漏一人，在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 SKIPIF 1 < 0 且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设事件A为：检测了3个人确定为“感染高危户”，事件B为：检测了4个人确定为“感染高危户”；∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大．
即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2022·广东佛山·高二期末）某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直发到4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且 SKIPIF 1 < 0 ，发球次数为X，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______；若 SKIPIF 1 < 0 ，则p的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题意 SKIPIF 1 < 0 所有取值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：
(1)求a的值及这50名党员成绩的众数；
(2)试估计此样本数据的第90百分位数.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，众数为75
(2)93.75
（1）根据频率分布直方图得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）前5个小组的频率之和是 SKIPIF 1 < 0 ，所以第90百分位数在第六小组 SKIPIF 1 < 0 内，设其为x，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则可以估计此样本数据的第90百分位数为93.75.
18．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））2022年6月5日神州四专搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员在酒泉卫星发射中心发射成功，表明中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“T”字基本结构的搭建，为了解民众对我国航天事业的关注度，随机抽取1000人，其中本科学历480人，高中及以下学历520人，得到如下 SKIPIF 1 < 0 列联表：
(1)若高中及以下学历了解的6人中，高中学历2人，高中以下学历4人，从中任意抽取2人，求2人都不是高中以下学历的概率；
(2)若认为了解与否与学历有关，则出错的概率是多少？
附表：
参考公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)低于0.001
（1）设2人都不是高中以下学历为事件A，则 SKIPIF 1 < 0 ，故2人都不是高中以下学历的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ．所以犯错误的概率低于0.001.
19．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）根据统计，某蔬菜亩产量的增加量 SKIPIF 1 < 0 （百千克）与某种液体肥料每亩使用量 SKIPIF 1 < 0 （千克）之间对应数据的散点图如图所示.
(1)请从相关系数 SKIPIF 1 < 0 （精确到 SKIPIF 1 < 0 ）；
(2)建立 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为 SKIPIF 1 < 0 千克时，该蔬菜亩产量的增加量约为多少百千克？
参考公式：对于一组数据 SKIPIF 1 < 0 ，相关系数 SKIPIF 1 < 0 ，其回归直线 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 百千克
（1）由已知数据可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以相关系数 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的线性回归方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以西红柿亩产量的增加量约为 SKIPIF 1 < 0 百千克.
20．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中偶数项的二项式系数的和比 SKIPIF 1 < 0 展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的第三项．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【详解】解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 的展开式中偶数项的二项式系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式中奇数项的二项式系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴第一个展开式的第三项为 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2022·湖北·黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行．近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且每局比赛相互独立．
(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；
(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为 SKIPIF 1 < 0 ，求随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列与数学期望．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)分布列见解析， SKIPIF 1 < 0
(1)记事件 SKIPIF 1 < 0 :“甲在第 SKIPIF 1 < 0 局比赛中获胜”， SKIPIF 1 < 0 ，事件 SKIPIF 1 < 0 :“甲在第 SKIPIF 1 < 0 局比赛中末胜” SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .记事件 SKIPIF 1 < 0 “甲夺得冠军"，
则 SKIPIF 1 < 0 .
(2)设甲乙决出冠军共进行了 SKIPIF 1 < 0 局比赛，易知 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
记 SKIPIF 1 < 0 表示第 SKIPIF 1 < 0 局从白盒中抽取的白色球， SKIPIF 1 < 0 表示第 SKIPIF 1 < 0 局从黄盒中抽取的黄色球，
SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 .
综上可得， SKIPIF 1 < 0 的分布列如下:
数学期望为 SKIPIF 1 < 0
22．（2022·全国·模拟预测）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，试求随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数 SKIPIF 1 < 0 服从正态分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 近似为样本平均数， SKIPIF 1 < 0 近似为样本方差 SKIPIF 1 < 0 ，经计算 SKIPIF 1 < 0 .现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望： SKIPIF 1 < 0 ；（2）人数最有可能是79.
【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，
随机变量 SKIPIF 1 < 0 可能的取值为0，1，2.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以恰好有 SKIPIF 1 < 0 个参赛者的分数不低于82.3的概率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1，2，…，500.
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.了解
不了解
总计
本科
38
442
480
高中及以下
6
514
520
总计
44
956
1000
SKIPIF 1 < 0
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
X
1
2
3
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0